老羅斯福總統於 1910 年在巴黎演講提到：並非會批評的才算數；只會指出差強人意，或行動有成者哪裡可以做得更好，這類人都不能算數。功勞應歸給真正在競技場上的人，他們臉上布滿灰塵、汗水與血跡；他們會犯錯，會有不足之處，因為任何努力不可能沒有錯誤與缺陷。那些充滿熱誠奉獻的人、那些投身有價值目標的人，最佳狀況就是終於抵達成就勝利的高峰，最差的狀況就是在勇往直前中不幸失敗。他們的地位永遠不會與那些又冷漠、又膽怯、既不知勝利、也不知失敗的人為伍。老羅斯福總統對於那些又冷漠又膽怯，坐在邊線當事後諸葛的人嗤之以鼻。
當氣象報告說有 40% 的機會下雨，而且確實下雨了，你會對預測失去信心嗎？不會的，因為你知道天氣本質上就有不確定性，一口咬定明天 100% 不會下雨的預報，通常是錯誤的服務。氣象預報給你不確定的答案，但是是嚴謹的不確定。
期望值不是你期望的數字，而是對各個結果的機率性妥協。Laplace’s Law (拉普拉斯定律) 計算期望值：假設買 n 張彩券有 w 張中獎，期望值= w+1n+2。想算出公車遲到機率嗎？你參加的壘球隊的贏球機率？只要算一下過往發生次數 + 1，再除以機會數 + 2 即可。拉普拉斯定律的優點在於，無論只有一個資料點或是有數百萬個資料點，它一樣有效。例如，地球上已經連續看見太陽約 1.6 億次，明天太陽還是會升起的機率與 100% 無差別。
美國哲學家、邏輯學家 Willard Van Orman Quine 曾說：相信某件事就是相信某事為真，因此合乎理性的人相信他自己每一個信念均為真；然而經驗告訴他，可以預期某些信念結果為偽，只是他還不知道哪些信念最後不為真。簡單地說，合乎理性的人相信，自己每個信念均為真，並且其中有些會為偽。
中國有位年輕人呂超，他能正確背誦圓周率 π 到小數點後 67,890 位，那真是了不起的記憶力。但那會有趣嗎？不會的，因為 π 後面的小數點一點都不有趣。就任何人所知，那就跟一長串亂數一樣。不過 π 本身是有趣的，π 並不是它的各項展開數字，它只是由那串數字寫出來罷了。就如同 La Tour Eiffel 可以標示在北緯 48.8586 度、東經 2.2942 度一樣，就算你在多加幾位數，也無法告訴你，La Tour Eiffel 何以是 La Tour Eiffel。
第一等的智力測驗，就是看能不能同時在心理容納兩種衝突的觀念，並還有能力維持正常機能。使用歸謬法時，這種能力是不可或缺的，你需要在心中持有一個你相信是錯誤的命題，但推理過程假裝它是對的：假設 2 的平方根是有理數，雖然我想證明它不是。這是非常有系統地做一場清醒的夢，我們有能力做且不至於短路。
不只是在做數學要白天證明、晚上反證。對於你所持有的信念，不管是社會、政治、科學、哲學等，以反證來施加壓力是一種好習慣。在白天相信你所願意相信的，但是到夜晚，與你最珍愛的命題打對台。用盡你的力氣去思考，就像你相信你原本不相信的事。如果無法說服你放棄現有的理念，你就會知道更多為什麼你會相信所相信的事，你就已經更接近證明了。
你會觀察到，好東西多了並不見得總是更好；只要給予足夠機會，不太可能發生的事情，也有可能會發生；做決策時，不要只關注最可能的未來，應該看到所有可能未來興起的雲霧，注意到哪些比較可能、哪些比較不可能；對於群體信念與個體信念的規則應該相同的想法，不再堅持；或者，你找到一個甜蜜點，在此可以放任直覺奔放在形式推理造就的軌道網。這些事發生時，即使沒有寫下任何方程式，但你就是在做數學，你正以額外手段擴充嘗試。你什麼時候在用到數學？你打從出生就開始用數學，也不停在用數學，你要好好的運用數學。
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