[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第2章：局部平直，大域彎曲 (Straight Locally, Curved Globally)

 

1. 數學世界有一條基本規律：如果宇宙給你一條難題，先試看看解一條比較簡單的問題，並且希望簡單版與原來的困難版相去不遠，而使宇宙不會全然排斥。

2. 局部平直，大域彎曲是指：假設你從高處滑降，一開始你可以看到整體，然後只看到一段弧線，然後是更短的一段直線。如同在地球表面的人類，除非聰明到能從觀察遠方物體從地球表面冒出，而發現地球不是平的，否則都會以為自己站在平面上。

開始你可以看到整體	然後只看到一段弧線	然後是更短的一段直線

3. 感謝牛頓給予我們的觀念，完美的圓並無特殊之處。每一條曲線，只要放大到夠大，看起來都是直線。只要曲線沒有尖銳的轉角，不管它多麼纏繞扭曲，都滿足此特性。

遠遠看發射的彈道飛彈	拉近一點	再拉得更近

4. 假設你用繩子綁住石頭在頭上轉圈，然後突然放手，它會沿著直線以等速飛射出去，微積分能正確告訴你，石頭脫手瞬間的前進方向。牛頓有另一個洞見是，運動中的物體會沿直線路徑前進，除非另有外力把物體推向另個方向。

5. 無窮級數的收斂

無窮級數的收斂

無窮等比數列：1, ½, ¼, ⅛, … 如果將無窮等比數列求和，就是無窮等比級數：1 + ½ + ¼ + ⅛ .... 這裡所舉的無窮等 比級數，由於公比 r = ½，滿足 |r | < 1，所以是收斂。收斂的意思是說，如果我們真的把 這無窮多項加起來，會是某個定值，也就是 1+12+14+18+...=11-12=2

例子

數不完的一群人相約到一間咖啡館聚會，他們陸續進入咖啡館並點咖啡喝，第一位點了一杯咖啡，第二位點了半杯咖啡，第三位點了14杯咖啡，第四位點了18杯咖啡，之後進來的人所點的咖啡量是上一位的一半。隔了一段時間後，這群人又到同一間咖啡館聚會，但是服務生索性倒滿兩杯咖啡，讓他們自己分配使用，為什麼? 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ....是公比 ½ 的無窮等比級數，假設級數和是S， 即 S = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ....， 則 2S = 2 + 1 + ½ + ¼ +..... = 2 + S，因此 2S - S = 2，得 S = 2。 無窮等比級數 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... 有極限值 2，是收斂級數。

Ref http://www.mathland.idv.tw/fun/condiv.htm  https://reurl.cc/OXNg33

6. 無窮級數的發散

無窮級數的發散

當 n 愈來愈大時，數列不會趨近於某一定數，此種數列稱為「發散數列」。

例子

有一次這群人改變了點咖啡量的方式，第一位點了一杯咖啡，第二位點了半杯咖啡，第三位點了 1/3 杯咖啡，第四位點了1/4 杯咖啡，之後進來的人所點的咖啡量是他的序號的倒數。但是這次咖啡館沒有足夠的咖啡，為什麼? 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... 這個級數是連續正整數的倒數和，稱作「調和級數」，它沒有極限值，是發散級數。

Ref http://www.mathland.idv.tw/fun/condiv.htm  https://reurl.cc/OXNg33