[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第15章：高爾頓的橢圓 (Galton’s Ellipse)

 

1. Francis Galton 的研究已證明，只要研究的的對象受機率的力量影響，平均值迴歸就會起作用。

2. 散佈圖 (Scatter Diagram / Scatter Plot) 

說明

是品管七大手法之一，用來分析一對參數間之關係，將成對之數據繪製在X-Y圖上，藉此找出兩者間之關係。

常見的幾種散佈圖

Francis Galton 發現身高與遺傳呈現平均值迴歸的現象

由遺傳與機率互相影響的散佈圖，具有一種絕非隨機的幾何形狀，它們看起來或多或少都被圈在一個橢圓形裡面，而中心恰好是親子都剛好是平均值的點。

散佈圖之製作

① 針對想要了解兩者關係的參數﹐收集 50 ~ 100 對數據。 ② 繪出 x-y 軸，兩者等長較易於解讀，兩者間若有因果關係，將因至於橫軸，果置於縱軸。 ③ 將所收集之數據繪在圖上。 ④ 解讀散佈圖。

氣溫與冰淇淋銷量間的關係

可以透過 scatter plot 看出，天氣越炎熱，冰淇淋銷量越好，但關係不是非常完美：

過去 100 年間，sea level 的變化

可以透過 scatter plot 看出，sea level 逐年上升，成正相關

Reference

https://reurl.cc/eE5vvR  https://reurl.cc/bX64QX

3. 真實生活的數據畫出來的散佈圖，通常都會排出粗略的橢圓

2004 年 John Kerry 與 2008 年 Barack Obama 的得票率

每一個點代表一個眾議院選區，這個橢圓明顯瘦長，代表兩者得票率高度相關，這些點明顯的在對角線上，反映出 Obama 得票表現優於 Kerry 的事實 (正相關)。

Google 與 GE (General Electric) 每日股價變化狀態

兩間公司每日股價變化成正相關。

SAT 平均分數與 State of North Carolina 州立大學學費間的關係

兩者關係成正相關。

2004 年小布希在美國 50 個州的得票率散佈圖

較富裕且自由主義主導的康乃狄克州 (CT) 出現在右下方，共和黨居多且財力有限的愛達荷州 (ID) 出現在左上方。兩者呈現負相關，富裕州偏民主黨，非富裕州偏共和黨，橢圓呈現西北往東南走勢。

4. 《The Triumph of Mediocrity in Business》提出其研究發現，原本具領先優勢的企業，會隨著時間進展，喪失其原本優勢，雖然他們還是優於平均，但整體來說，已不再是特別傑出的一群企業。隨時間進展，企業表現趨於平庸也是平均值迴歸的一種現象，高超的管理與商業眼光固然扮演重要角色，但是運氣大概也有相等的分量。

5. 代數的好處在於容易寫下式子，並打進計算機；幾何的好處在於能把我們的物理直覺與情境連結起來，特別是當你能畫出一幅圖像時。當你有能力用幾何語言講清楚一段數學，就會感覺自己真正搞懂了。

6. 相關係數計算

題目說明

某財務軟體公司在全國有許多代理商，為研究它的財務軟體產品的廣告投入與銷售額的關係，統計人員隨機選擇10家代理商進行觀察，搜集到年廣告投入費和月平均銷售額的數據，並編製成相關 (https://reurl.cc/xg6G24)

Scatter Plot

透過 scatter plot 可以看出，廣告費投入與銷售額兩者間呈現正相關。

計算過程

excel function：CORREL(年廣告費投入資料, 月均銷售額資料), 例如，CORREL(A2:A11, B2:B11) 相關係數 = 0.9942 相關係數 r = 0.9942 > 0.63，廣告投入費與月平均銷售額之間有高度的線性正相關關係

很可能不是碰巧發生的相關性

Sample Size 被視為具有統計顯著性的最小相關性 5 .88 10 .63 15 .51 20 .44 25 .40 30 .38 60 .26 100 .20

7. 計算喜歡起司與喜歡起司蛋糕間的「相關係數」

8. 計算結果只能看出是否有相關性，「不是」因果關係。例如，血液濃度的 HDL 與心肌梗塞有關，但是經過研究，服用菸鹼酸來刻意提高 HDL 濃度的受試者，得到心肌梗塞與腦中風的比例與一般人一樣。從測試結果可發現，菸鹼酸可以提高HDL 濃度，高 HDL 濃度能降低心肌梗塞與腦中風的風險，但是，這不代表菸鹼酸能降低心肌梗塞與腦中風的風險。人的身體是極為複雜的系統，我們只能量度其中極少的特徵，更不要說想擺布它。以我們觀察到的相關因素為基礎，會有非常多藥物有可能達到治療效果，但當你將其拿來逐一實驗，大部分都以失敗收場。

9. 以下是根據 2011/12/15 公共政策民意調查所繪製的圖，圖裡有 1000 個圓點，每一個點代表每個選民，回答的 23 個民調問題，可看出此選民是偏左或偏右，支持歐巴馬、肯定民主黨的選民會偏右邊；喜歡共和黨的選民會偏左。我們會發現，當選民獲得的訊息越多，只是讓原本左右兩邊的人走向更極端，居中人口稀疏地帶更加稀疏。大體來說，未決定的選民之所以未決定，並不是因為他們不受政治教條的偏見影響，客觀且小心提衡量各個候選人的優缺點，而是他們幾乎沒在注意這件事。

1. 數學工具就跟其他科學工具一樣，能偵測到某類現象，卻不能偵測別類現象，正如你的相機沒有能力偵測到伽瑪射線 (或γ射線)。當你知道自然界或社會裡的兩種現象不相關，請把這件事放在心上：這並不意味著兩者毫無關係，只是不存在「相關」的原始設計中，所以無法偵測到那類關係。