[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 結語：如何做才能正確

 

1. 老羅斯福總統於 1910 年在巴黎演講提到：並非會批評的才算數；只會指出差強人意，或行動有成者哪裡可以做得更好，這類人都不能算數。功勞應歸給真正在競技場上的人，他們臉上布滿灰塵、汗水與血跡；他們會犯錯，會有不足之處，因為任何努力不可能沒有錯誤與缺陷。那些充滿熱誠奉獻的人、那些投身有價值目標的人，最佳狀況就是終於抵達成就勝利的高峰，最差的狀況就是在勇往直前中不幸失敗。他們的地位永遠不會與那些又冷漠、又膽怯、既不知勝利、也不知失敗的人為伍。老羅斯福總統對於那些又冷漠又膽怯，坐在邊線當事後諸葛的人嗤之以鼻。

2. 當氣象報告說有 40% 的機會下雨，而且確實下雨了，你會對預測失去信心嗎？不會的，因為你知道天氣本質上就有不確定性，一口咬定明天 100% 不會下雨的預報，通常是錯誤的服務。氣象預報給你不確定的答案，但是是嚴謹的不確定。

3. 期望值不是你期望的數字，而是對各個結果的機率性妥協。Laplace’s Law (拉普拉斯定律) 計算期望值：假設買 n 張彩券有 w 張中獎，期望值= w+1n+2。想算出公車遲到機率嗎？你參加的壘球隊的贏球機率？只要算一下過往發生次數 + 1，再除以機會數 + 2 即可。拉普拉斯定律的優點在於，無論只有一個資料點或是有數百萬個資料點，它一樣有效。例如，地球上已經連續看見太陽約 1.6 億次，明天太陽還是會升起的機率與 100% 無差別。

4. 美國哲學家、邏輯學家 Willard Van Orman Quine 曾說：相信某件事就是相信某事為真，因此合乎理性的人相信他自己每一個信念均為真；然而經驗告訴他，可以預期某些信念結果為偽，只是他還不知道哪些信念最後不為真。簡單地說，合乎理性的人相信，自己每個信念均為真，並且其中有些會為偽。

5. 中國有位年輕人呂超，他能正確背誦圓周率 π 到小數點後 67,890 位，那真是了不起的記憶力。但那會有趣嗎？不會的，因為 π 後面的小數點一點都不有趣。就任何人所知，那就跟一長串亂數一樣。不過 π 本身是有趣的，π 並不是它的各項展開數字，它只是由那串數字寫出來罷了。就如同 La Tour Eiffel 可以標示在北緯 48.8586 度、東經 2.2942 度一樣，就算你在多加幾位數，也無法告訴你，La Tour Eiffel 何以是 La Tour Eiffel。

6. 第一等的智力測驗，就是看能不能同時在心理容納兩種衝突的觀念，並還有能力維持正常機能。使用歸謬法時，這種能力是不可或缺的，你需要在心中持有一個你相信是錯誤的命題，但推理過程假裝它是對的：假設 2 的平方根是有理數，雖然我想證明它不是。這是非常有系統地做一場清醒的夢，我們有能力做且不至於短路。

7. 不只是在做數學要白天證明、晚上反證。對於你所持有的信念，不管是社會、政治、科學、哲學等，以反證來施加壓力是一種好習慣。在白天相信你所願意相信的，但是到夜晚，與你最珍愛的命題打對台。用盡你的力氣去思考，就像你相信你原本不相信的事。如果無法說服你放棄現有的理念，你就會知道更多為什麼你會相信所相信的事，你就已經更接近證明了。

8. 你會觀察到，好東西多了並不見得總是更好；只要給予足夠機會，不太可能發生的事情，也有可能會發生；做決策時，不要只關注最可能的未來，應該看到所有可能未來興起的雲霧，注意到哪些比較可能、哪些比較不可能；對於群體信念與個體信念的規則應該相同的想法，不再堅持；或者，你找到一個甜蜜點，在此可以放任直覺奔放在形式推理造就的軌道網。這些事發生時，即使沒有寫下任何方程式，但你就是在做數學，你正以額外手段擴充嘗試。你什麼時候在用到數學？你打從出生就開始用數學，也不停在用數學，你要好好的運用數學。

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第18章：「我從虛空中創造出一個新奇宇宙」(Out Of Nothing I Have Created A Strange New Universe)

 

1. 法律的條文如同定理的公設 (axioms)，可以用邏輯演繹的方式，導出判決。法律上的形式主義，表現在堅守程序與法條條文，特別是在與常識發生干戈之時。大法官史卡利爾是司法形式主義最強的支持者，他很直接地說：「形式主義讓國家有法治，而非人治。」

2. 首席大法官 John Robert 在 2005 年任命聽證會上，有一段流傳甚廣，以棒球比喻自己職責的發言：法官與司法都是法律的僕人，而非顛倒過來。法官就像棒球比賽裡的裁判，裁判不制定規則，而是執行規則。裁判與法官的角色極為關鍵，他們要確定每個人都按照規則走。然而他們的角色是很有限的，沒有人去看球比賽是去看裁判的。 

3. 皮亞諾公設 (Peano axioms)

人類開始注意到數學的「可加性」

早在遠古時代，我們的老祖先就在儲藏獵物、分配食物時，逐漸產生對數的感覺。當  2 隻 牛、 3 隻 羊、 5 隻 豬擺在一塊，只有這些東西可過冬時，強烈的求生欲使老祖先朦朧地意識到這其中有一種共性，並開始擺弄著自己僅有的  10 隻 手指計數。 因此，當某位古代先祖第一個意識到「 1+1=2」，從而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時 ，就發現了「數學」一個非常重要的性質 ——可加性，這是人類文明史上一個極其偉大的時刻 。

皮亞諾公設 (Peano axioms)

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下： ① 0 是自然數； ② 每一個確定的自然數 a，都有一個確定的後繼數 a' ，a' 也是自然數； ③ 對於每個自然數b、c，b=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數； ④ 0不是任何自然數的後繼數； ⑤ 任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，可以證明對a' 也真。那麼，命題對所有自然數都真。 其中，一個數的後繼數指緊接在這個數後面的數，例如，0的後繼數是1，1的後繼數是2等等；公理5保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理。 根據這五條公理可以建立起一階算術系統，也稱皮亞諾算術系統。

1. 數學是群體的事業，雖然我們會對放上最後一塊磚的人給予特別的榮譽，但是每次一次的增長，其實是巨大心智網路朝共同目標努力的結果。Mark Twain 曾說：需要上千人力才能發明電報、蒸汽機、留聲機、電話、或任何其他重要東西，最後都是一個人記上功勞，其他人都遭遺忘。

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第17章：沒有民意這種東西 (There Is No Such Thing As Public Opinion)

 

1. 政府都希望透過民調來了解民意，但你會發現民調結果充滿矛盾。例如，多數人同意，透過削減支出與增加稅收來平衡州政府預算；但是當問到是否要砍教育、健保、交通、年金的經費？是否要增加所得稅、營業稅？沒有一個項目獲得支持。多數美國人認為，自己能受益的計畫，才是最該不計成本該保留的 (我沒說過我們不自私，只說過我們不愚蠢)。

2. 民意根本不存在，更精確地說，民意只是有時候會存在，在多數人對某項事務有清楚見解時，才能講民意。

3. 如果沒有民意這件事，民選代表如何做事？最簡單的答案是：如果人民沒有給你一致的訊息，就照你的意思去做。如果你是優秀的政治家，你就會說：「人民選我是要我來領導，而不是來看民調臉色。」

4. 人並非完全理性的個體，我們日常生活常會出現矛盾與不協調的行為。個體之所以看起來不理性，有可能他們不是個體。我們每個人都是一個小小的民主國家，內部有驅動我們的各種辯論的聲音，我們盡量努力去平息爭議以及取得妥協。結果並非永遠合乎理性，它們好歹讓我們蹣跚前進，不會犯太多可怕錯誤。民主確實亂糟糟，然而它就是能發揮功效。

5. 假設一開始 Amy 有兩個擇偶對象 Adam 與 Bill，Amy 需做出困難選擇；但是當 Clause 出現後，局面開始改觀，Clause 是個「無關的選擇」，魅力與可靠度與 Adam 高度雷同，但智力有差異，是個 Adam 略傻版，使 Adam 看起來更棒。經研究，有 ⅔ 的女性選擇 Adam。所以，如果你是正在追尋愛侶的單身漢，你就該選擇跟你一位跟你很像，卻又稍稍缺乏那麼點吸引力的人來當你的電燈泡。

6. 排序複選制 (IRV, Instant-runoff Voting) 是一種排序投票制度。在候選人超過兩名的情況下，選民在選票上按喜好排列其支持的候選者。計票時，首先依照選票上的第一選擇來計算候選人的得票，得票最少的候選人將被淘汰，然後將其得票依第二選擇重新分配給其他候選人，按票數再排序後，再將最少票的候選者排除，並將其選票分配給餘下的候選人，如此類推，直至有候選人取得過半數選票為止。(https://reurl.cc/MAZ2VK, https://reurl.cc/mLqp2l) 例如：

7. Condorcet 的投票悖論 (The Condorcet Voting Paradox)

Voting Paradox

當談論「個人選擇」時，如果一個人喜歡 A > B，同時喜歡B  >  C，那麼他就應該喜歡A  > C； 但當我們談論「集體選擇」時，一個群體喜歡 A  >  B，同時喜歡B  >  C，卻不一定等於他們會喜歡A > C。

以美國總統大選為例

就算談論同一群人，這群人喜歡 Donald Trump > Hillary Clinton，喜歡 Hillary Clinton > Bernie Sanders，他們仍有可能喜歡 Bernie Sanders >  Donald Trump。 如果 Sanders 參選，很可能可以搶回一些因求變或不喜歡 Hillary而投給 Trump 的人，也可能令一些因不喜歡 Hillary 而沒有出來投票的民主黨人出來投票。但 Hillary 能拿到的一些主流民主黨選票和中間游離票，會否嫌桑德斯「太左」，的確是個問號。 將 Condorcet's paradox 和今次大選的結果合併來思考，可以提醒我們，Trump 勝出，不一定代表他是最受美國民眾支持的政治人物，因為制度安排加上現實狀況，可以碰巧將一個不是真的那麼大受歡迎的人推上台。(https://reurl.cc/a95po3)

8. 孔多塞陪審團定理 (Condorcet Jury Theorem, CJT)

Condorcet Jury Theorem

如果開會的時候，與會者在一個對、一個錯的二選一的選項中投票，越多人做出正確決定的機率超過50%，越多人一起開會，就越可能得出好的結論。投票得出結果的正確性由 p 是否大於或小於 1/2 決定： 如果 p > 1/2 （即每個投票人有更大的投出正確選項的可能），則投票人數的增加將會增大群體得出正確結論的可能。當投票人數趨近於無限大時，群體投票得出正確結論的可能性無限接近於一。 然而如果 p < 1/2  （即每個投票人有更大的投出錯誤選項的可能），則投票人數的增加會增大群體犯錯誤的可能：此時最適當的陪審團人數應為一人。

9. 根據「最適多數決」理論 (Optimal majority)，如果把太多人湊在一起，每個人平均發言的時間就會被縮短，討論品質也會下降；因此，在這樣的會議上，要盡可能湊到相對多元的多方利害關係人，但人數又不能太多（亦即，這個過程恐怕無法真的做到「全民參與」），這樣才能有好的討論品質，也才能幫助大家在這個過程中得到相對好的結果。(https://reurl.cc/mLL65G)

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第16章：肺癌令你抽菸嗎？(Does Lung Cancer Make You Smoke Cigarettes?)

 

1.  假設婚姻與抽菸，兩者是負相關

不同說法	強調重點	說明
代表性說法	真實狀況直述句，解釋相關	如果你癮君子，就不太會是已婚者 (If you’re a smoker, you’re less likely to be married)
更動說法	假設語氣，解釋因果	假設你有抽菸，你就不太會是已婚者 (If you were smoking, you would be less likely to be married)

2. 相關不蘊涵因果 (correlation does not imply causation)，又稱為 相關不代表因果，是科學和統計學經常強調的重要觀念，意思是若兩個事物（統計學上會用變數代表）有明顯的相關時（即當一件事出現，另一件事也出現），不一定表示兩者之間有因果關係。例如說看到死刑判決越多，謀殺犯罪率越高，不代表兩者間有關，尤其不代表死刑導致更多謀殺，有可能是謀殺案件增加導致更多死刑判決，或其他因素同時導致更多謀殺與更多死刑判決。(https://reurl.cc/xGZD2z)

3. 要確立一個因果關係，其實也是很困難的，因為生物學及醫學的世界太複雜，往往都會有些干擾因子（Confounding factors）去影響你。

4. 偽因果關係的例子 (https://reurl.cc/mLndO7)

🍦🏊 冰淇淋的銷售量越高，海灘溺水的人數也越多

雪糕銷售與溺水人數表面上看似有關係，其實只不過是因為氣溫越高，越多人買雪糕，同時也越多人游泳，所以溺水的人也越多。但其實這個偽關係是由氣溫高這個「干擾因子」引起的。

🏊⚡ 泳池溺水人數與美國核電廠發電量也是高度相關

這兩者高度相關，並非代表核電廠發電會「導致」人在泳池中溺水，而是因為氣溫高，耗電量大增 → 核電廠發電量增加，去游泳的人也變多 → 泳池溺水的人也多。

5. 確定性因果關係 (deterministic causality)

因果關係成立條件

如果要得出 X 導致 Y 的結論，下列三個條件都要成立︰ ① X 發生在 Y 之前 ② 若 X 不發生，則 Y 也不發生 ③ 若 X 發生，則 Y 一定發生

分析因果關係的希爾準則 (Bradford Hill's Criteria)

Hill's Criteria 說明 ① 時序性 （Temporality） 若 X 導致 Y，那 X 一定發生在 Y 之前。這是 9 個準則中最重要的，若不符合時序性，因果關係可立即被否定。 ② 強度 （Strength） 即觀察一個事件對另一個事件的影響有多強，但如果病人用 micafungin 後，夜晚排尿由1公升減至100毫升，我們對它們兩者有因果關係的信心自然大得多。 ③ 一致性 （Consistency） 即兩件事件的相關性在不同情況之下都會出現，一般在學術界中，如果越多不同的團隊做研究都得多相同的結果，我們覺得這些研究證明的因果關係的可信度是越高的。 ④ 劑量反應關係 （Dose-response relation） 即接受的劑量越高，反應也應該越大。 ⑤ 可逆性 （Reversibility） 將因子移除會令另一因子發生的程度減低。 ⑥ 生物合理性 （Biological plausibility） 即相關是否有一個合理的解釋。如吸煙引起肺癌，我們有一個很合理的解釋，就是煙草中的致癌物質會破壞細胞的DNA，增加基因變異的機會，故引起肺癌。 ⑦ 同調性 （Coherence） 沒有與現有的其他理論衝突。 ⑧ 類比性 （Analogy） 將某個已知的因果關係，類比至其他相似的關係上，並依此推論其因果關係存在與否。 ⑨ 特異性 （Specificity） 一個果只有一個因。因為生物學及醫學上的複雜性，一個果往往都可以又不同的原因促成，例如肝癌可以是由B型肝炎病毒、C型肝炎病毒、喝酒，甚至是發霉的花生所引起的。

6. 想要檢定來分辨「相關」是來自「因果」，還是與「因果」無關，是一個令人感到抓狂的困難問題，即使你原本以為答案顯而易見，例如肺癌與抽菸的關係，並不單純。1947 年，英國罹患肺癌致死人數，較幾十年前增加 15 倍，當時沒人能指出確切原因，可能是工廠廢氣、汽車廢氣、未能指認出的汙染源、抽菸 (在當時抽菸的流行程度大爆發) 等。

7. 公共政策制定者不像科學家，他們沒有權利享有不確定性，只能以現有訊息為基礎，做出最好預測並訂下決策。以抽菸導致肺癌為例，此研究結論毫無疑問，科學家與政策制定者會協同合作：科學家估算我們有多少未定數，而政策制定者在標出的不確定下，決定該採取什麼行動。

8. 🍆 吃茄子有害健康？

假說

假定我們有 75% 確信結論是對的，推動拒吃茄子使每年可以減少 1000 位美國人死亡 然而，我們也有 25% 的機會得到錯誤結論，迫使茄子愛好者去吃其他不健康的食物造成每年多死 200 人的情況

期望值計算

75%1000+25%(-200)=750-50=700 依據期望值，不管茄子商會如何抗議，不管結論是否 100% 正確，就決定向大眾公開，政策制定者建議的期望值是每年可救 700 人。 請記住：期望值並非照字面上那樣，代表我們預期會發生的值，而是當同樣決策反覆不斷執行後，期望發生的平均值。

1. 假若公共政策制定者自我要求遵守更嚴格的證據標準，只要沒有完全確定是正確的，就拒絕發出任何建議，那麼原本可以拯救的生命就會因此喪失。但有一件事可以確定：用可能會出錯為理由來避免給予建議，會是失敗的策略。

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第15章：高爾頓的橢圓 (Galton’s Ellipse)

 

1. Francis Galton 的研究已證明，只要研究的的對象受機率的力量影響，平均值迴歸就會起作用。

2. 散佈圖 (Scatter Diagram / Scatter Plot) 

說明

是品管七大手法之一，用來分析一對參數間之關係，將成對之數據繪製在X-Y圖上，藉此找出兩者間之關係。

常見的幾種散佈圖

Francis Galton 發現身高與遺傳呈現平均值迴歸的現象

由遺傳與機率互相影響的散佈圖，具有一種絕非隨機的幾何形狀，它們看起來或多或少都被圈在一個橢圓形裡面，而中心恰好是親子都剛好是平均值的點。

散佈圖之製作

① 針對想要了解兩者關係的參數﹐收集 50 ~ 100 對數據。 ② 繪出 x-y 軸，兩者等長較易於解讀，兩者間若有因果關係，將因至於橫軸，果置於縱軸。 ③ 將所收集之數據繪在圖上。 ④ 解讀散佈圖。

氣溫與冰淇淋銷量間的關係

可以透過 scatter plot 看出，天氣越炎熱，冰淇淋銷量越好，但關係不是非常完美：

過去 100 年間，sea level 的變化

可以透過 scatter plot 看出，sea level 逐年上升，成正相關

Reference

https://reurl.cc/eE5vvR  https://reurl.cc/bX64QX

3. 真實生活的數據畫出來的散佈圖，通常都會排出粗略的橢圓

2004 年 John Kerry 與 2008 年 Barack Obama 的得票率

每一個點代表一個眾議院選區，這個橢圓明顯瘦長，代表兩者得票率高度相關，這些點明顯的在對角線上，反映出 Obama 得票表現優於 Kerry 的事實 (正相關)。

Google 與 GE (General Electric) 每日股價變化狀態

兩間公司每日股價變化成正相關。

SAT 平均分數與 State of North Carolina 州立大學學費間的關係

兩者關係成正相關。

2004 年小布希在美國 50 個州的得票率散佈圖

較富裕且自由主義主導的康乃狄克州 (CT) 出現在右下方，共和黨居多且財力有限的愛達荷州 (ID) 出現在左上方。兩者呈現負相關，富裕州偏民主黨，非富裕州偏共和黨，橢圓呈現西北往東南走勢。

4. 《The Triumph of Mediocrity in Business》提出其研究發現，原本具領先優勢的企業，會隨著時間進展，喪失其原本優勢，雖然他們還是優於平均，但整體來說，已不再是特別傑出的一群企業。隨時間進展，企業表現趨於平庸也是平均值迴歸的一種現象，高超的管理與商業眼光固然扮演重要角色，但是運氣大概也有相等的分量。

5. 代數的好處在於容易寫下式子，並打進計算機；幾何的好處在於能把我們的物理直覺與情境連結起來，特別是當你能畫出一幅圖像時。當你有能力用幾何語言講清楚一段數學，就會感覺自己真正搞懂了。

6. 相關係數計算

題目說明

某財務軟體公司在全國有許多代理商，為研究它的財務軟體產品的廣告投入與銷售額的關係，統計人員隨機選擇10家代理商進行觀察，搜集到年廣告投入費和月平均銷售額的數據，並編製成相關 (https://reurl.cc/xg6G24)

Scatter Plot

透過 scatter plot 可以看出，廣告費投入與銷售額兩者間呈現正相關。

計算過程

excel function：CORREL(年廣告費投入資料, 月均銷售額資料), 例如，CORREL(A2:A11, B2:B11) 相關係數 = 0.9942 相關係數 r = 0.9942 > 0.63，廣告投入費與月平均銷售額之間有高度的線性正相關關係

很可能不是碰巧發生的相關性

Sample Size 被視為具有統計顯著性的最小相關性 5 .88 10 .63 15 .51 20 .44 25 .40 30 .38 60 .26 100 .20

7. 計算喜歡起司與喜歡起司蛋糕間的「相關係數」

8. 計算結果只能看出是否有相關性，「不是」因果關係。例如，血液濃度的 HDL 與心肌梗塞有關，但是經過研究，服用菸鹼酸來刻意提高 HDL 濃度的受試者，得到心肌梗塞與腦中風的比例與一般人一樣。從測試結果可發現，菸鹼酸可以提高HDL 濃度，高 HDL 濃度能降低心肌梗塞與腦中風的風險，但是，這不代表菸鹼酸能降低心肌梗塞與腦中風的風險。人的身體是極為複雜的系統，我們只能量度其中極少的特徵，更不要說想擺布它。以我們觀察到的相關因素為基礎，會有非常多藥物有可能達到治療效果，但當你將其拿來逐一實驗，大部分都以失敗收場。

9. 以下是根據 2011/12/15 公共政策民意調查所繪製的圖，圖裡有 1000 個圓點，每一個點代表每個選民，回答的 23 個民調問題，可看出此選民是偏左或偏右，支持歐巴馬、肯定民主黨的選民會偏右邊；喜歡共和黨的選民會偏左。我們會發現，當選民獲得的訊息越多，只是讓原本左右兩邊的人走向更極端，居中人口稀疏地帶更加稀疏。大體來說，未決定的選民之所以未決定，並不是因為他們不受政治教條的偏見影響，客觀且小心提衡量各個候選人的優缺點，而是他們幾乎沒在注意這件事。

1. 數學工具就跟其他科學工具一樣，能偵測到某類現象，卻不能偵測別類現象，正如你的相機沒有能力偵測到伽瑪射線 (或γ射線)。當你知道自然界或社會裡的兩種現象不相關，請把這件事放在心上：這並不意味著兩者毫無關係，只是不存在「相關」的原始設計中，所以無法偵測到那類關係。