第八章 狀態火熱的雷.艾倫 (When You’re Hot, You’re Not)
小數定律/一項籃球研究/小華特.威廉姆斯/投擲馬蹄鐵/保齡球
我們常根據一種重複出現的模式,然後再編造符合此種模式的理論。如果 Curry 連續多次三分球投籃得分,一定是因為他的狀況絕佳,命中率才提升;若連續多次失手,一定是他的狀況不好,命中率才下降。其實,每次投籃與之前沒有關係,只是出現巧合地連續現象。優秀的狀態無法確保連續成功,糟糕的狀態也不保證連續失敗;優秀或糟糕的狀態也許僅是運氣而已。
在你指責賭場詐賭,要對賭場提出法律訴訟前,你要先區分大概是隨機發生的哪些看似不隨機的狀況(看起來隨機 ≠ 真的是隨機),以及實際上真的不是隨機發生的那些看似不隨機的狀況(看起來不隨機 ≠ 真的不隨機)。第二種結果看似不可能,但是因硬幣沒有記憶,每次機率都是 ½ 。這就是看似不隨機,但實際卻是隨機的例子。(Ref: Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds)
硬幣翻轉結果 | 機率 |
① 人頭、數字、人頭、人頭、數字 | 1212121212=132=.03125 |
② 數字、數字、數字、數字、數字 | 1212121212=132=.03125 |
③ 人頭、人頭、數字、數字、數字 | 1212121212=132=.03125 |
④ 人頭、人頭、人頭、人頭、數字 | 1212121212=132=.03125 |
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組合 (combination) | 排列 (permutation) |
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硬幣出現順序的機率與結果機率 (Ref: Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds)
順序 | 此順序的機率 | 結果 | 結果機率 |
① 人頭、數字、人頭、人頭、數字 | 125=.03125 | 三個人頭 | 方法數=5!3!(5-3)!=1206(2!)=12012=10 結果機率=1032=.3125 |
② 數字、數字、數字、數字、數字 | 五個數字 | 方法數=5!5!(5-5)!=120120)=1 結果機率=132=.03125 |
③ 人頭、人頭、數字、數字、數字 | 三個數字 | 方法數=5!3!(5-3)!=1206(2!)=12012=10 結果機率=1032=.3125 |
④ 人頭、人頭、人頭、人頭、數字 | 四個人頭 | 方法數=5!4!(5-4)!=12024=5 結果機率=532=.15625 |
判斷是否為隨機的條件 (Ref: Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds)
賭徒謬誤 (Gambler’s Fallacy):不管是什麼遊戲,如果涉及金錢與機率,有一些基本的博弈原則可以幫助快樂的統計學家保持愉快。賭博的世界瀰漫著神秘、迷信和數學的混論,對這些機率遊戲多認識一點,能幫你度過難關。
賭徒謬誤 (Gambler’s Fallacy) |
是一個直覺但是錯誤的信仰體系,使許多原本消息靈通的玩家付出代價。 當你在玩 21 點 (blackjack) 時,是否曾經連續拿了很多手壞牌,使得你增加賭注,認為情勢隨時可能改變,你就陷入賭徒謬誤 (Gambler’s Fallacy),以為連續拿了好幾次壞牌,拿到好牌的機率會增加。 套用到純粹機率的遊戲上時,會是一連串「獨立事件」,事件間彼此毫無關係,每個個別的結果都與它之前的結果無關,這個事實經常被總結為「骰子沒有記憶」。 與賭徒謬誤相仿的信念範例包含 請不惜一切代價避免上述謬誤,這樣你賭輸的錢應該會少一些。
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賭場和金錢 |
在機率遊戲中,公平的回饋 (fair payout) 是長期來說,會使兩邊的參與者 (即賭場及賭客),達到收支平衡的支付金。 賭場能賺錢的第一個原因是,莊家優勢。以美式輪盤遊戲 (roulette) 來說,共有38個號碼,18 個紅色、18 個黑色與 2 個綠色,這讓莊家有高於公平回饋 2/38 (5.26%) 的莊家優勢。一般來說,賭場用此方式盈利並不公平,但這也是賭徒與賭場的社會契約的一部分。 賭場能賺錢的第二個原因,是因為賭徒口袋並非無限深,也沒有無限長的時間可賭博。賭場的優勢 (ex. 輪盤上的 5.26%),是指如果一個玩家下注無限次,賭場能拿走的金額。這個無限玩家會贏一陣子,輸一陣子,然後在任何時間點,平均來說,會輸掉其起始資金的 5.26%。不過實際狀況時,大多數玩家不繼續玩的原因,通常時沒錢的時候。大多數玩家都是在有錢的時候持續下注,然後沒錢的時候停止下注。 以上兩個原因,讓賭博遊戲對賭場而言是有利可圖的,不是與特定遊戲關聯的機率,而是人類的行為:玩家持續玩的傾向。 這個 hack 給賭徒的一般建議是,過了特定一段時間後就走人,不管你是贏錢或輸錢。如果你夠幸運,在你時間用盡之前,就贏了很多錢,請考慮離開賭場。
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投注系統 (betting systems) |
輸的次數 | 押注大小 | 總支出 | 1 | $5 | $5 | 2 | $10 | $15 | 3 | $20 | $35 | 4 | $40 | $75 | 5 | $60 | $135 | 6 | $120 | $315 |
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我們老是低估巧合在生活中有多普遍,沒意識到隨機性會產生看似有意義、實則毫無意義的模式。對無法解釋的事情做出解釋,這種說法常誘使我們相信。
不要以為電腦很聰明,其實它很笨。電腦只會按照你要求工作;如果你要它們做錯誤的事情,它們就會照做並給你錯誤的結果。
我們喜好在資料中尋找模式,並為其編造理由,這是無法避免的事情。因此,我們很容易相信好手感與差手感的說法,進行相信手感會影響成功機率。記住,即使在隨機的拋硬幣實驗中,也會出現僅僅來自巧合的、引人注目的連續成功和連續失敗現象。好手感與差手感很可能確實存在,但它的差異比我們想像要小的許多。
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