數學世界有一條基本規律：如果宇宙給你一條難題，先試看看解一條比較簡單的問題，並且希望簡單版與原來的困難版相去不遠，而使宇宙不會全然排斥。
局部平直，大域彎曲是指：假設你從高處滑降，一開始你可以看到整體，然後只看到一段弧線，然後是更短的一段直線。如同在地球表面的人類，除非聰明到能從觀察遠方物體從地球表面冒出，而發現地球不是平的，否則都會以為自己站在平面上。
感謝牛頓給予我們的觀念，完美的圓並無特殊之處。每一條曲線，只要放大到夠大，看起來都是直線。只要曲線沒有尖銳的轉角，不管它多麼纏繞扭曲，都滿足此特性。
假設你用繩子綁住石頭在頭上轉圈，然後突然放手，它會沿著直線以等速飛射出去，微積分能正確告訴你，石頭脫手瞬間的前進方向。牛頓有另一個洞見是，運動中的物體會沿直線路徑前進，除非另有外力把物體推向另個方向。
無窮級數的收斂
無窮級數的發散
第1章：更不像瑞典 (Less Like Sweden)
我們都熟知供應和需求曲線，但供需曲線很多時候並不是兩條斜線交叉，而是呈現極大的非線性。比如石油價格的波動、小麥價格的波動。《Antifragile》書中舉了一個極端的例子：2004年-2007年，世界對小麥的需求量僅僅上升了1%，而價格卻上升了兩倍。最近幾年的國內煤價，和波羅的海乾散貨指數等，都是呈現明顯的非線性特徵。(Ref: Antifragile)
城市並非較大的村莊，企業也非較大的小型企業。隨著治理與管理的範圍變大，整體複雜會呈現非線性 (nonlinear) 的提升，而不是線性 (linear)。(Ref: Antifragile)
複雜系統充滿了難以察覺的相互依賴與非線性的反應。非線性 (nonlinear) 表示，你施打兩倍的藥物劑量，或指派兩倍的員工數量到產線，你未必可以得到兩倍的效果，有時候可能得到多一點點的效果，或者是比原本更少的效果。(Ref: Antifragile)
真實的世界是非線性的，而且會比你想得更非線性。我們身處於非線性的世界 (線性的世界只存在你的教室裡、課本中)，例如天氣預測模型深受非線性因素的影響，即便你有一個正確的模型 (實際上你一定沒有)，只要一個輸入參數有變化，你可能得到完全不同的結論。(Ref: The Black Swan)
漁業經濟模型是 renewable resources，其會受到三個非線性關係的影響，雖然無法讓魚群一直成長，但若讓再生率與捕獲率維持動態平衡，就能夠永遠維持高且穩定的捕獲率 (harvest rate)。(Ref: Thinking in Systems: A Primer )
亞里斯多德曾在《尼各馬科倫理學》(Nicomachean Ethics) 提過，吃太多或太少都會引起消化不良，最佳狀況應介於中間，因為飲食與健康的關係不屬於線性，而是曲線，兩種極端都不好。
拉佛曲線 (Laffer Curve) 是由供給面經濟學派的 Laffer 所提出，主要在描述稅率(t) 與總稅收(T) 之間的關係。當稅率(t) 為0%的時候，人民不必繳稅，因此政府總稅收(T) 等於零；當稅率為100%時，所有的工作所得都必需繳交國庫，自然也沒有人願意工作，因此總稅額也會等於零。除了這兩個極端以外，總稅收會大於零。而經濟社會存在一個最適的稅率可以使得總稅收極大，主政者則必須設法將稅率定在最適稅率附近，以最大化國庫收益。實務上，要找出最適稅率是多少並不容易，而且最適稅率也可能隨時空背景不同而有所不同，也就是說，它並非恆常不變的，因此也增加了實證上的困難。如果主政者在判斷上出現錯誤，採行了不當的增稅或減稅政策都有可能使總稅收不增反減。(Ref: https://reurl.cc/ynNdZq )
學數學要計算定積分，猶如足球員要做體能訓練與柔軟操一樣。⚽ 假設你想成為職業足球員，你就必須做一堆反覆、無聊、表面上看來毫無關聯的訓練，例如，丟擲重物、繞著交通錐跑來跑去等。球員會從日復一日乏味的訓練中練出強度、速度、直覺與彈性，練習這些操練就是在學期踢足球。
✈️ 二戰期間，結束轟炸任務的英國皇家空軍 (RAF, Royal Air Force) 戰機，機身都像多孔的瑞士乳酪，受傷的彈孔多位於機翼與機尾，引擎反而較少受創。這並非代表德軍不打引擎，而是被打到引擎的戰機都無法安全返航。你去醫院恢復室，就會發現腿上有槍傷的人數，會比胸部有槍傷的人多，這並非胸部比較不會吃子彈，而是胸部吃子彈的人難以倖存。
裝甲安裝太多，飛機會飛不動；裝甲安裝太少，飛機被擊落機率大增。根據數學家的分析，反而將保護裝甲安裝在引擎，才是提升戰機安全返航的關鍵。在戰爭時期，勝利經常是少被擊落 5% 飛機，或者少消耗 5% 燃油的一方。這些都不是製作戰爭電影的素材，卻是打勝仗的關鍵，這裡面每一步都是數學。
對數學家而言，彈孔問題就是存活者偏誤 (surviorship bias)，此狀況存在於我們日常生活中。📈 以共同基金為例，在分析基金表現時，常會漏掉已下架的基金。《財務評論》(Review of Finance) 在 2011 年計算 1995 ~ 2004 年間，Morningstar 大型平衡基金的績效表現：
數學宇宙分成四個象限，本書不打算講那些複雜又深刻的定理與猜想。本書只準備帶你逛逛左上角那個簡單又深刻的象限，它們只涉及一些「原則」，應用層面遠超出你認為的數學範圍，它們只是工具腰帶上好用的工具，適當的使用一定會幫助你不犯錯。
用 desktop 版本的 Microsoft Teams 查看頻道內的對話內容，某幾天的內容突然消失，但用手機 APP 看，對話資料存在，兩邊看到的結果不一致。
第十九章 何時相信，何時懷疑 (When to Be Persuaded and When to Be Skeptical)
被模式誘惑／具有誤導性的資料／變形的圖像／缺乏思考的計算／尋找混雜因素／手氣好／回歸平均值／平均定律／德州神槍手／當心經過剪裁的資料／缺乏理論的資料僅僅是資料而已／缺乏資料的理論僅僅是理論而已／美好的出生日
【模式誘惑】相關、趨勢和其他模式本身無法證明任何事情，如果沒有合理的解釋，任何模式僅僅是一種模式而已，每一個理論都須接受新資料的檢驗。
【選擇性偏誤 (selection bias)：此偏誤發生於收納受試者時，「精挑細選」出的受試者無法代表母群體，「收納」與「未收納」到研究的對象有系統性差異 (systematic difference)。例如，二戰期間，結束轟炸任務的英國皇家空軍 (RAF, Royal Air Force) 戰機，受傷的彈孔多位於機翼與機尾，應加強防護這兩個位置；無法成功返航的都是被攻擊到駕駛艙與油箱位置的戰機，這兩個地方才是最需要加強防護的位置。沒看到的資料與看到的資料一樣重要，甚至更加重要。為了避免倖存者偏差，應當從過去的資料開始，並展望未來。
留意變形的圖像，會誤導你判斷：視覺化圖表不僅是一種藝術，更是為沒耐性的人帶來樂趣。有用的視覺化圖表可以準確且一致性地展示資料，協助我們理解；垃圾圖表則會分散注意力，使我們感到困惑與煩躁。垃圾視覺化圖表檢查清單
【缺乏思考的計算，當心膚淺的比較】人有一種自然傾向，僅關注計算結果是否準確，而不深究這個計算是否正確與合理。隨著人口成長，許多人類活動也會跟著增長，包含看電視時間、吃橘子的人數、死亡人數等。資料間毫不相關，但它們之間存在統計相關性，因為它們都會隨著人口增加而增長。看電視不會導致我們吃橘子，吃橘子不會導致死亡。在統計學中，相關性 ≠ 因果關係。不管兩者相關性多高，在做出判斷前，都需要合理的解釋。(Ref: https://reurl.cc/4y7kYK )
【小心干擾因素】干擾因素常存在於觀測性研究中，此時我們無法控制人們的選擇。干擾因素也存在於實驗環境中，因為研究人員有時也會忘記控制某個干擾因素。
【不要相信手氣說】我們喜好在資料中尋找模式，並為其編造理由，這是無法避免的事情。因此，我們很容易相信好手感與差手感的說法，進行相信手感會影響成功機率。記住，即使在隨機的拋硬幣實驗中，也會出現僅僅來自巧合的、引人注目的連續成功和連續失敗現象。好手感與差手感很可能確實存在，但它的差異比我們想像要小的許多。每次投籃與之前沒有關係，只是出現巧合地連續現象。優秀的狀態無法確保連續成功，糟糕的狀態也不保證連續失敗；優秀或糟糕的狀態也許僅是運氣而已。
【回歸均值】當學術能力和運動能力等特點得不到完美測量時，觀測到的表現差異會誇大實際能力差異。表現最優秀的人與平均水準的距離，很可能不像看上去那樣遙遠，表現最糟的人也是如此。因此，他們隨後表現將回歸均值。回歸均值也不是意味能力像均值收斂、大家很快會有平均水準，它只意味著，極端表現在經歷好運和壞運的群體間輪換。回歸均值也不代表成功和不成功的公司會走向令人沮喪的平庸。
【平均定律】當你在玩 21 點 (blackjack) 時，是否曾經連續拿了很多手壞牌，使得你增加賭注，認為情勢隨時可能改變，你就陷入賭徒謬誤 (Gambler’s Fallacy)，以為連續拿了好幾次壞牌，拿到好牌的機率會增加。套用到純粹機率的遊戲上時，會是一連串「獨立事件」，事件間彼此毫無關係，每個個別的結果都與它之前的結果無關，這個事實經常被總結為「骰子沒有記憶」。想改變運氣，通常需要改變自身的行為。面試一直被拒絕，並不會提高未來錄取機率，相反地，這只是更加證明此人不適合此職缺，應當考慮如何表現得更好，或者考慮申請不同工作。正負相抵只是一個笑話，不是值得信賴的規律。我們正在經歷壞運時，總會希望能轉運。我們的壞運可能不會持續，但發生在我們身上的壞事，並不會自動提高好事的可能性。(Ref: Statistics Hacks)
【德州神槍手謬誤 (Texas sharpshooter fallacy)】又稱為先射箭再畫靶，是一種因果謬誤，原用以形容流行病學上的集群錯覺，後衍伸泛指將統計上隨機產生的群集獨立出來，宣稱有統計顯著性的謬誤。通俗地講，就是在大量的數據/證據中刻意地挑選出對自己的觀點有利的數據/證據，而將其餘對自己不利的數據/證據棄之不用。(Ref: https://reurl.cc/v52z7a)
【當心經過剪裁的資料】每當有人出示奇特起迄時間點的資料時，都應保持懷疑。如果起迄點看是去是仔細研究資料後所做出的選擇，這樣的選擇很可能是為了扭曲歷史紀錄，用以獲得合乎邏輯的完美解釋。
【缺乏理論的資料，就只是資料而已】只要夠努力，即使面對隨機生成的資料，也可以找到模式，不管這種模式有多明顯，都需一個合理的理論來解釋，否則，就只是巧合而已。
【缺乏資料的理論，就只是理論而已】不管這一項研究是誰做的，都需要通過常識性檢驗，而且需要使用沒有被資料採集污染的無偏差資料來做檢驗。在經過可靠資料檢驗前，理論僅是一種猜測。
第十八章 增長的極限 (Theory without Data)
窮途末路
複利效應：假設你投資 $1,000，年利率 10%，第一年，你的 $1,000 投資賺到 $100 利息。此後每年，你都會得到 $1,000 的 10%，外加已經賺得的利息的利息 (簡稱利滾利)。經過 50 年的利滾利，你的 $1,000 最終變成 $117,391，這就是複利強大到近乎神奇的原因。
缺乏數據的理論，就是以半真半假的理論作為事實，但卻從不檢驗它。如果一種理論沒有得到可靠的數據檢驗，它僅是猜測。對於未來數十年、甚至數百年的猜測，這種現象尤其明顯。
我們需要理論，也需要資料，不要僅僅被其中一種說服。如果有人光搜刮資料就發現某種模式，還需要合理的理論才行；另一方面，在跟可信的資料核對之前，理論僅僅是理論而已。
不管這一項研究是誰做的，都需通過常識性檢驗，且需使用沒有被資料採集污染的無偏差資料來做檢驗。
第十七章 超級投資者 (Betting the Bank)
寬客／收斂交易／我只看數據／在推土機面前撿硬幣／閃電崩盤
期貨市場實行每日結算制，當天虧損的投資者要把資金移轉給獲益投資者。經紀人要求客戶每日開盤時，帳戶裡有超出當天可能結算金額的資金 (稱為保證金)。如果你沒有錢，經紀人就會對你的期貨合約做平倉處理 (稱為轉讓契約)。
期貨 (Futures) 是一種契約，類似預售屋交易，買賣雙方現在約定好於未來特定時間點，九個月蓋好房後，以簽訂當時約定的房屋價格、數量、坪數等條件交易。簽約時只要先付 5% 款項做為未來到期時的擔保，就可以買賣約定標的之房屋契約。(Ref: https://reurl.cc/DvQZzd )
許多計量金融分析模型常陷入兩個陷阱：❶ 天真的相信歷史模式能對未來提供可靠的指引；❷ 依賴在數學上很方便、不切實際且非常危險的理論假設。
近期出現的統計套利是計量金融的一種極端表現方式。和計量金融一樣，它在數學和統計上算得很精細，但也很危險，因為它依據不可靠的經驗假設和理論假設，許多假設常常無法通過最簡單的常識性測驗。
凱因斯曾說：市場保持非理性狀態的時間，可能比你保持不破產的時間更長 (Markets can remain irrational longer than you can remain solvent.)。
在期貨市場，槓桿具有巨大的威力，統計理論算出來的關聯性是靠不住的。
2010/5/6 美股遭到閃電崩盤 (flash crash)，電腦股票系統被不明原因觸發，連編寫程式的人也不了解電腦做的交易。道瓊工業指數在 5 分鐘內下跌近 600 點，電腦間在 15 秒內互相交易 27,000 份期貨合約，最終因期貨市場內建的保護機制，將所有交易中止 5 秒鐘，電腦的瘋狂交易就令人讓人難以置信的恢復正常。電腦的演算法是人撰寫的，電腦沒有常識，只會盲目地買進與賣出，因為這就是它的演算法要求它們做的事情。
2013/8/30 P&G (寶僑) 股票發生迷你的閃電崩盤 (其他股票沒有受到影響)，又是因為無法解釋的原因，在 1 秒鐘之內發生 200 次交易，股票瞬間下跌 5%，然後在 1 分鐘內又恢復正常。為什麼會發生這種事情？還是沒人知道。
不要把資金押在歷史模式，以及幾乎沒有合理解釋的關係上。
第十六章 彩券是一種智商稅 (Data Without Theory)
目之所及／我們都將為IBM工作／股票是一種不錯的投資／跑贏大盤（或者說為什麼我喜愛包裝工隊）／傻瓜四股／反向頭肩／如何（不）中彩券／不會破裂的泡沫／南海泡沫／波克夏泡沫／真實股價
如果我們僅根據過去趨勢推測未來，而不去考慮這種趨勢是否有意義，得到的結論可能會與真相相去甚遠。缺乏理論的資料可能引發股市投機泡沫，或在沒有泡沫時創造出泡沫幻象。
股票是一種不錯的投資？
股市基本上是隨機的，彩券也是完全隨機，但人們總是能從亂數中找到一些模式，並深信不移。只要有心尋找模式，一定能夠找到它。缺乏理論的數據雖然誘人，但卻具誤導性。
Los Angeles Times 於 1983 年刊出「Super Bowl 預測股市」的文章，其認為「假若當年的超級盃是由國家聯會 (NFL) 的球隊， 或是由原屬國家聯會轉入美國聯會 (AFL) 的球隊奪冠，則當年度的道瓊指數將會上漲； 反之，若由來自美國聯會的球隊獲勝，當年的道瓊指數則會下滑」。股市與美式足球兩者毫無關聯，此指標的準確率僅是一個可笑的巧合。想出超級盃指標的人，只是想以幽默的方式說明兩者相關性，兩者並無因果關係，只是構思者沒想到有人會接受這個理論。
股市交易年鑑的執行總監傑德布朗便嘲弄地表示，真要以這種牽強附會的方式來解盤，他也可以發明個「世界大賽指標」，只要紐約洋基隊贏得世界大賽，股市就會大漲，但其中的學問不過就是：洋基隊已拿過二十六次的世界大賽冠軍盃了。(Ref: https://reurl.cc/nnbrq6 )
除了超級盃指標外，華爾街上還流傳著不少古怪趣味的分析指標。例如始於 1941 年的「裙邊指標」( Hemline Indicator )， 由女性流行時裝的裙子長短來判斷股市前景。裙子愈短，股市愈熱；反之，裙子愈長，就是市場看跌的時候。(Ref: https://reurl.cc/nnbrq6 )
技術分析的核心是確定股價模式，以便預測未來價格。這些模式被貼上標籤，如支撐線、阻力線、雙頂、雙底等，使這些分析看起來很合理。不過，多項研究發現，雖然技術分析擁有這些吸引人的標籤與術語，但它幾乎沒有任何價值，除了幫技術分析師與股票經紀人帶來佣金。
在網路公司的泡沫中，大多數人沒有使用令人信服的理論去衡量股價過高、高好或過低。相反地，當眾人看到股價上漲，都會編造理由，只為解釋正在發生的事情。
對投機者而言，股票價值是其他人願意支付的價格，他們要做的是猜測別人願意為你今天買的東西支付多少錢，這就是所謂的 Greater Fool Theory (最大笨蛋理論)：以虛高的價格購買某樣東西，希望能以更高的價格賣給更傻的傻瓜。當投機者失去信心，不認為這樣東西的價格能繼續上升，泡沫就破裂。投機行為的關鍵是「判斷有沒有比自己更大的笨蛋」，只要自己不是最大的笨蛋，那麼自己就是贏家。
南海泡沫事件是英國在1720年春天到秋天之間發生的經濟泡沫，與同年的密西西比泡沫事件及1637年的鬱金香狂熱並稱歐洲早期「三大經濟泡沫」，「經濟泡沫」一語即源於南海泡沫事件。英國議會成員 James Milner 在南海泡沫中破產，他悲嘆地說：「的確，我們一定會遇到滅頂之災，但是，它比我預測的早來兩個月。」(Ref: https://reurl.cc/9ZA65Y )
根據財訊雜誌 2020/9/9 報導：「封裝材料及設備通路商長華電材，在今年6月19日股東會決議通過修改公司章程，將原有的股票面額由新台幣10元變更為1元，公司資本額則維持6.388億元，因此，發行股數由原來的6388萬股增加至6.388億股，亦即流通在外股數變為原來的10倍。」如此降低股票面額與增加流通股數，實務上稱之為「股份分割」，是將一股份分割成較多的股份，例如一股分割為十股，股東所持股份將按此比例增加。主要目的在於降低每股股價來增加投資人的投資意願。由於股價調低的關係，你的持股總市值不會改變。至於未來股價是否能夠繼續長期上漲？主要還是要看公司的未來獲利前景而定。(Ref: https://reurl.cc/V3ZMbb )
如果兩件事物彼此沒有合理的關聯，那麼兩者的比較是沒有說服力的。為什麼股價增長應該與消費品價格同步？這種虛假的關聯性，不值得一看。看到股票分析理論時，問問自己：研究的人在考察資料與計算前，是否擁有清晰且具體的理論？理論是否經過未受污染資料的檢驗？資料是否遭到過濾或選擇性丟棄？
