[閱讀筆記] The Math of Life and Death - ㊀ 從指數的角度來思考：探討「指數行為」的威力與限制 (Thinking Exponentially: The Sobering Limits of Power)

 

1. 所謂「指數成長」，是指某事物會依據其當下的規模，呈現等比例成長。假設你在早晨打開一瓶牛奶 🥛，有一隻糞鏈球菌溜進瓶子裡，在牛奶裡，糞鏈球菌每小時就能分裂兩個子細胞。每經過一代，增加的細胞量與當下的細胞量成正比。指數曲線有時稱為「J 型」，這是因為其陡峭上升的走勢幾乎與字母 J 相同。

2. 指數成長只能維持一小段時間，因為成長的主體是以無法維繫的方式在消耗資源，很多時候根本可以說是病態。舉例來說，癌症的典型特徵，就正是人體細胞持續以指數成長；又如糞鏈球菌快速耗盡牛奶內的所有養分。

3. 另一種指數曲線是「自由落體滑水道」，一開始非常陡峭，如自由落體，此曲線經歷的是衰減曲線，指數衰減時，數量會依當下的規模，呈現等比例減少。

4. 本章節預計揭露指數行為與日常現象之間隱藏的連結：① 疾病如何在人群中傳播？② 迷音如何在網路上傳播？③ 胚胎如何成長如此迅速？④ 銀行帳戶中的資金為何成長如此緩慢？⑤ 我們如何感知時間、甚至感知核彈何時爆炸？

5. Benjamin Franklin 曾說：「錢能賺錢，而那筆錢賺來的錢，還能賺到更多錢。」

財富累積

如果你每年投資 100 元、年利率 1%，得花 900 多年才能變成百萬富翁。如果成長率不高、初始投資金額不大，就會讓人感覺指數成長實在緩慢。 以定期定額為例 (以月份作為複利的期次、申購手續費以1.0%計算)

債務累積

如果你欠了卡債，每個月要被扣一筆固定利息，卡債也可能出現指數型成長。這就像是房貸，若你能越早付清卡債，或是能還的頭期款越多，避免讓指數成長進入起飛期，你最後需要付的總金額就會減少。 以房貸為例，越短時間繳完，需繳納的總利息就越低

6. 如果某件事看起來好得不像真的，大概就不是真的。金字塔式騙局 (Pyramid scheme) 就是如此，是一種「無法持久永續經營」(unsustainable) 的商業銷售運作模式，在大多數國家及社會的法律及案件中被視為「非法商業行為」。

金字塔式騙局 (Pyramid scheme)

(https://reurl.cc/RboqZe)

受精卵的細胞分裂如同金字塔式騙局 (Pyramid scheme)

卵子受精後，受精卵會經過一次又一次的細胞分裂，讓發育中的胚胎細胞數迅速增加。先是一個變兩個；經過八小時，兩個變四個；再過八小時，四個變八個，再很快變成十六個，就這樣不斷快速增加，如同金字塔型騙局裡新投資人的數量。 隨著胚胎成長走到比較複雜的階段，細胞分裂速度會趨緩。現實中，新生兒的細胞數大約有兩兆個，只要不到 41 次分裂，就能達到這個數目。

7. 核反應與放射線衰退，也是一種指數成長與指數衰退

核連鎖反應 (nuclear chain reaction)

當發生一個核反應，兩個或以上的周邊核反應被觸動，從而帶動其他核反應以指數形式增長。在臨界質量的核分裂燃料發生的不受控核連鎖反應可釋放出巨大能量，也是純核分裂炸彈的威力來源。在核子反應爐中，核連鎖反應可通過插入吸收中子的控制捧人工中止。(https://reurl.cc/Krolbm)

放射性指數衰減

指數衰減就像指數成長，指的是數量會依照當下的價值而成比例減少。例如，人體排除藥物、一大杯啤酒對腦袋的影響越來越低、放射性物質釋放出的強度會隨時間而減少 (i.e 放射性衰變 / radioactive decay)。 (https://reurl.cc/yeaDvq)

放射性指數衰減應用 - 放射性定年 (radiometric dating)

依據物質現存的放射性，判斷物質已存在多久。只要測量物質現存仍帶有放射性的原子含量，再與已知衰變產品的原子含量做比較，理論上就能為所有會放出原子輻射的物質加以定年。 例如，號稱有 130 年的麥卡倫單一純麥威士忌，經檢測只是 1970 年代的調和威士忌廉價酒；檢驗年代久遠的藝術作品等。

8. Van Meegeren 是一位荷蘭畫家，被認為是20世紀最聰明的藝術偽造者之一。儘管他犯了詐欺罪，但是在第二次世界大戰結束後，范米格倫成為民族英雄。他在納粹德國佔領荷蘭期間，他曾出售過一幅偽造的維梅爾畫作給帝國元帥Hermann Wilhelm Göring (https://reurl.cc/L7x0Z9)。運用「鉛 210 放射性定年」進行檢驗，與真正有 300 年歷史的油畫畫作相比，《以馬忤斯的晚餐》找到鉛 210的比例異常地高，不可能是 17 世紀 Vermeer 的畫作，因為當時 17 世紀尚未開採出畫作顏料用的鉛。

9. 病毒式行銷 (viral marketing) 所指的現象，是透過類似自我複製的過程，用像是病毒傳播的手段達成廣告目標。只要網路上有一個人被感染，就會再傳染給其他人。只要每個新感染者再傳染只少一個人，病毒傳染就能指數成長。病毒式行銷是迷因 (meme) 的子領域，指的是某個迷因如何透過社交網路，像病毒一樣在人與人之間傳播。

(https://reurl.cc/DZMvr6)

10. 冰桶挑戰 (Ice Bucket Challenge) 就是一種病毒式行銷 (viral marketing) ，曾幫助總部位於美國華盛頓特區的 ALS 協會籌集到超過1億美元善款。ALS 協會發布聲明表示，冰桶挑戰善款資助的研究項目 Project MinE 取得重大突破：研究人員發現 ALS 與名為 NEK1 的基因有關，為治療這種罕見病提供了新的方向。(https://reurl.cc/2oADzm, https://reurl.cc/oxberV)

11. 2014 年是冰桶挑戰的高峰 (ex. 流感高峰)，2015 年所獲得的募款 < 前一年的 1%。只要在 2014 年曾接觸過此病毒的民眾，通常就已具備很強的免疫力，即使菌株稍有突變 (ex. 桶子內不是裝水，改裝其他東西)，也難有影響。此時，群眾已出現「冷漠」的抗體，所以就算新的病毒再爆發，每個新的參與者平均而言並無法再把病毒傳給至少一個人，疫情也迅速消散。

12. 荷花定律 (30 天定律)：一個荷花池，第一天開一朵，第二天開放的數量是第一天的兩倍，之後的每一天，荷花都會以前一天兩倍的數量開放。如果到第30天，荷花就開滿了整個池塘，那麼請問：在第幾天池塘中的荷花開了一半？第15天？錯！是第29天。

荷花定律試算

13. 上述荷花定律，許多人會回答 15 天，顯示人類無法以指數方式思考的弱點，這也可能是造成生態系統與人口崩潰的原因。有一種在瀕臨絕種列表上的物種，一直面臨著明確且持續的警告信號，就是人類自己。

14. 指數成長不可能永續，通常隨著人口持續增加，環境能用來維持人口成長的資源就會變得稀缺，淨增長數 (出生率減死亡率的差) 就會自然下降。地球環境只能維持一定數量的物種族群，這個上限稱為「乘載能力」。達爾文發現，當資源無缺時，物種會以指數型成長；當面臨環境限制時，物種間就會開始爭奪資源，最終進入增長停滯期，這就是所謂的 logistic growth model (羅吉斯成長模型)。

15. 在指數成長的情況裡，只要讓成長率小幅下降，就能產生巨大差異。雖然我們繼續朝向地球的乘載上限接近，但靠著人口成長趨緩，我們正自然而然地為自己爭取更多時間。但我們生而為人，還是有些出於指數行為的道理，會感覺剩下的時間不如想像的多。

16. 越熟悉日常生活的種種例行公事，就會越覺得時光飛逝；通常隨著年齡增長，這一切只會越來越熟悉，所以感到時光流逝更快。根據這項理論看來，如果想讓時間慢一點，就該讓生活充滿各種新奇體驗，別讓例行公事侵蝕我們的時間。

17. 隨著年齡成長，對於某段固定時間的感受似乎會不斷減少，顯示時間似乎適用的是「指數尺度」(exponential scale)。測量的時候，如果數量的變化範圍極為巨大，就可能不使用傳統的線性尺度 (linear scale)，而採用指數尺度。如果用指數模型來看，人生的五歲到十歲、十歲到二十歲、二十歲到四十歲、甚至是四十歲到八十歲，有可能其實會感覺一樣長（或一樣短）。這裡並不是想讓人急著去寫什麼夢想清單，但如果根據這個模型，從四十歲到八十歲雖然有四十年（也就是一般中老年的大部分人生），但過起來的感覺有可能就像從五歲到十歲生日那五年一樣倏忽即逝。

一年佔人生的比例

10 歲的小孩對於 11 歲的生日禮物所需等待的時間，得在花上這輩子 10% 的時間，這需要聖人般的耐性。

1. 對於年事已高的囚犯而言，倒也算得上一點小小的安慰，這種例行公事般的監獄生活，又或者說是對時間感知的指數加速，應該會讓他們的刑期感覺起來迅速飛逝。