[閱讀筆記] The Math of Life and Death - ㊂ 數學法則：瞭解數學對法律的重要性 (The Laws of Mathematics: Investigating the Role of Mathematics in the Laws)

 

1. 如果用數學形式呈現一種確定性假象 (illusion of certainty)，原本心存懷疑的人，忽然間都欣然接受。

2. 許多民主國家的法庭都遵循「無罪推定」原則：承擔舉證責任的是原告，而非被告。幾乎所有國家都放棄「有罪推定」的做法，原因在於「有罪推定」必然會造成偽陽性增加 (無罪變有罪)、偽陰性減少 (有罪變無罪) 的狀況 。

無罪推定

有罪推定

3. 👮 在現代國家中，日本刑事司法系統是明顯的例外，日本是偏向有罪推定，定罪率高達 99%，當中有絕大部分是以自白認罪為基礎。日本高定罪率的原因：

日本警方無須起訴就可將嫌犯拘留三天，偵訊過程無須律師在場，也無須留下紀錄； 警方會於居留期間施壓，希望在取得具體證據前，就獲得自白供詞； 日本嫌犯為了避免審判過程過於高調而讓家族蒙羞，常會做出虛假自白 (false confession)。

4. 聯合國在《世界人權宣言》裡，將無罪推定列為國際人權。18 世紀的英國法官暨政治家 William Blackstone 曾說：「就算讓十個有罪的人逃脫，也勝過讓一個無辜的人受苦。」此觀點讓我們站穩偽陰性的立場，只要我們無法證明嫌犯有罪，就可能獲判無罪；而且，就算確實有證據證明被告有罪，還需說服陪審團或法官、排除合理懷疑，否則被告就會揚長而去。

5. 在蘇格蘭的法庭裡，還有第三種判決，就算是名義上，但足以降低偽陰性比例：如果陪審團或法官無法充分相信被告無辜，不應判無罪，而是判為「犯罪未經證實」(not proven)。

6. 相依事件 (dependent event) 與獨立事件 (independent event)

相依事件 (dependent event)	獨立事件 (independent event)
其中一項機率會影響另一項的機率，例如，👶 男嬰猝死機率是女嬰的兩倍，因此性別與猝死兩者具有相依性	兩件事情發生的機率互不相干，例如，🎲 骰子沒有記憶，也不關心未來，每次擲骰都是獨立事件。
【獨立事件】計算既是女性、智商又 > 110 的機率
性別不影響智商：男女機率是 1/2，智商超過 110 的機率是 1/4；智商與性別兩者是獨立事件，智商高低與性別無關。 因為你感興趣的是數個連續事件是否全部 (all) 會發生，所以會用「乘法原則」，機率 = (500/1000) * (250/1000) = 1/2 * 1/4 = 1/8。
【相依事件】既是女性又有自閉症的機率
性別會影響自閉症發生機率：男性有自閉者的機率是 8/500，女性則為 2/500，顯示男性發生機率是女性的四倍； 患有自閉症患者中，女性只有 2/10 = ⅕； 既是女性又有自閉症的機率 = 2/1000。

7. 當你在玩 21 點 (blackjack) 時，是否曾經連續拿了很多手壞牌，使得你增加賭注，認為情勢隨時可能改變，你就陷入賭徒謬誤 (Gambler’s Fallacy)，以為連續拿了好幾次壞牌，拿到好牌的機率會增加。套用到純粹機率的遊戲上時，會是一連串「獨立事件」，事件間彼此毫無關係，每個個別的結果都與它之前的結果無關，這個事實經常被總結為「骰子沒有記憶」。《Statistics Hacks》

8. 總體本來就包含各形各色的人，一旦我們思考不夠仔細，就假設某個統計數據可以代表當中所有個體，發生以全概偏、刻板印象，就犯了生態謬誤 / 區群謬誤 (ecological fallacy)。

9. 根據英國 2010 的資料數據顯示：女性平均壽命 83 歲，男性平均壽命 79 歲，總人口平均壽命 81 歲。根據此數據，你可能就會產生「區群謬誤 (ecological fallacy)」，誤以為從街頭隨機挑一位女性，她的壽命一定會高於隨機挑選的男性，這又稱為簡化推論 / 籠統概化 (sweeping generalization)。由於極端值會影響算數平均數，這樣會讓平均壽命的算術平均數遠低於中位數。英國男性死亡年齡的中位數是 82 歲，這代表有一半的男性會活到 82 歲以後。

10. 簡化推論 / 籠統概化 (sweeping generalization) 例子 (https://reurl.cc/l5KK76)

例子	解說
超速是不對的，所以救護車不應該超速。	救人優先，救護車可以不受到速限控制，因此這是謬誤。
鳥會飛，駝鳥是鳥，所以駝鳥會飛。	在演化的過程中，有些鳥類放棄了飛行能力，「鳥會飛」只是通常的狀況，並非絕無例外的鐵律，因此這是謬誤。
人類族群有傳統的神祉和神話傳說 皮拉罕人沒有傳統的神祉和神話傳說 ______________________________ ∴皮拉罕人不是人類	如果單單因為皮拉罕人沒有傳統的神祉和神話傳說，就否定皮拉罕人是人類，就是犯了此項謬誤。

11. 五的規則 (Rule of Five)：任何從母體中隨機抽取的五個樣本，母體的中位數有 93.75% 的機會，會落在這五個樣本中最大和最小數值之間。假設你要考量公司是否要增加遠距辦公的機會，因此要考量每名員工平均花在通勤的時間，所謂五的規則就是你隨機選五名員工，假設你得到的數值是 30, 60, 45, 80, 60 分鐘，最高與最低分別為 30 與 80，此是全體員工的母體中位數有 93.75% 的機會，會落在這兩個數字之間。雖然樣本數很小，範圍可能很大，但是若能比你先前的範圍大幅縮小，那它作為一項衡量就很有價值。《How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business》

12. 辛普森悖論 (Simpson’s paradox)

辛普森悖論說明

班傑明·狄斯累利 (Benjamin Disraeli) 是十九世紀的英國文學家、政治家，曾經兩次擔任英國首相，他認為：「世上有三種謊言，就是：謊言，天大的謊言，與統計數字。」 Simpson's paradox (辛普森詭論) 提出一個論點，「即使分組比較都佔優勢的一方，也會在總評中是居於劣勢的一方。」 發現干擾因素不是件容易的事情，我們應當留意是否存在可能改變結論的干擾因素。《Standard Deviations: Flawed Assumptions, Tortured Data, and Other Ways to Lie with Statistics》

男女並無平均分配至實驗組與對照組：看似藥物能有效改善病情

若將男女拆開來看，並檢視改善率：安慰劑的效果似乎勝出，尤其女性更是如此【發現性別是干擾因素】

若將男女等量分配至實驗組與對照組：藥物的效力輸給安慰劑

當控制性別此「混淆變數」後，可以再度證明藥物的效力輸給安慰劑

13. 更多辛普森悖論的例子 《Standard Deviations: Flawed Assumptions, Tortured Data, and Other Ways to Lie with Statistics》

Examples	說明
✈️ 阿拉斯加航空公司擁有優於另一家航空公司準點飛行紀錄，整體卻不如競爭對手	⛈️ 阿拉斯加航空公司擁有許多飛往 Seattle 的航班，常因當地天氣問題導致班機延誤。
👵 瑞典女性死亡率低於哥斯大黎加，但瑞典擁有較高的女性整體死亡率	因瑞典擁有更多的老年女性，老年人擁有較高的死亡率。
🏥 一項醫療手術對小型與大型腎結石的治療成功率，皆高於另一種術式，但整體成功率卻低於另一種術式	因為此一醫療手術常被用於治療大型腎結石，大型腎結石的成功率本來就較低。

14. 檢察官謬誤 (prosecutor's fallacy)：係取一不甚相關、或有關但未正確考慮條件機率的數據，認定被告「無辜的機率」很小。(https://reurl.cc/1oRWAm)

例子	破解檢察官謬誤
小明買一張樂透彩券，很幸運地中了頭彩。結果他被檢察官約談，理由是被懷疑收買內部員工。檢察官的論據是，大樂透頭彩的中獎機率只有約一千四百萬分之一，所以小明只有一千四百萬分之一的機率是無辜的。	大樂透中獎機率與小明無辜機率無關
某市發生一起兇殺案，現場證據不多，但死者掙扎時疑似抓到了來自兇手身上的皮膚，實驗室鑑定結果發現小明與之相符，於是小明被起訴。檢察官說，這種檢驗平均每1000人只會有一人符合，因此小明有罪的機率是999/1000。	正確的計算方法要使用貝氏定理。小明有罪的先驗機率若為P，則小明確實有罪的機率為 (0.999*P)/(0.999*P+0.001*(1-P)) ，而P 值是變動的，端視對小明不利的證據而定。假定對小明不利的唯一證據是小明住在案發城市，而該市人口為1,000,000，則 P 為 1/1,000,000，代入上式可知小明確實有罪的機率低於1/1000。
在某犯罪現場發現犯人血跡，此血型僅有 10% 的人擁有，剛好嫌疑人擁有此血型。所以，現場抓到的嫌疑犯且具此血型的人，無辜的可能性只有 10%。	倫敦人口有 1000 萬，擁有此血型約佔 100 萬人 (1000 萬 * 0.1)，因此此嫌疑犯是犯人的機率是百萬分之一。

15. 👮 案發地點發現嫌犯精液 DNA，DNA 圖譜相符機率是 1/300萬，因此被逮獲嫌犯有罪機率近乎百分百；最後檢察官發現搞錯了，要找到其他人DNA 圖譜相符機率高達 1/2500，被逮獲嫌犯的有罪機率大幅下降至 1/1200。

DNA 圖譜相符機率是 1/300萬，嫌犯有罪機率近乎百分百

DNA 圖譜相符機率是 1/2500，嫌犯有罪機率大幅下降至 1/1200

16. 把不可靠的檢測做兩次，結果還是會比做一次來得好 《Math on Trial: How Numbers Get Used and Abused in the Courtroom》(https://reurl.cc/439z7L, https://reurl.cc/YjzaN0)

前提

🎲 公正骰子擲出 6 點的機率是 1/6； 灌鉛的骰子擲出 6 點的機率是 ½

機率運算

【公正骰子】骰 10 次並骰出 6次 6點的機率 ：C610(16)6(56)4=10!4! 6!(16)6(56)4=0.00217 【灌鉛骰子】骰 10 次並骰出 6次 6點的機率 ：C610(12)6(12)4=10!4! 6!(12)6(12)4=0.20508 可能是灌鉛骰子的機率 = 0.20508 / (0.00217+0.20508) = 0.9895

實驗兩次的結果

17. 科學上在做系統性文獻回顧 (systematic review) 時，也常採用上述方式。例如，醫學領域的系統性文獻回顧就是如此，雖然過去已經做過多次獨立試驗，但個別的受試者人數不足以為特定療法的療效下定論，系統性文獻回顧會將多項獨立試驗的結果結合起來下判斷。經過結合，在療法的療效或其他事項上，常常能得到在統計上具顯著性的結論。

18. 系統性回顧可以用大量資料的統計，協助釐清少量文獻可能的偏差。例如諾貝爾獎得主的生物化學家 Linus Pauling 認為維他命 C 可以幫助我們活的更久，而且感覺較好並且預防感冒（Pauling, 1986）。但是之後 Paul Knipschild 做了文獻回顧發現，其實只有一、二個臨床試驗強烈建議維他命 C 可以預防感冒，但是有更多的文獻顯示，維他命 C 並沒有如 Pauling 所描述的好處（Knipschild, 1994）。

19. 我們一旦過度沉迷於某個奇妙的數學論證、複雜的運算、又或是叫人印象深刻的數字，就常常會忘了問最重要的問題：這項計算用在這裡，到底對不對？

20. 只要有人能夠從操控數字中得到利益，我們就該對數字抱持懷疑，要求得到更多解釋；任何人只要對自己的數字真實性有信心，就該樂於提供解釋。

21. 現代開始出現愈來愈多可量化的證據形式，於是數學論證在現代司法系統也扮演更形重要的角色；但如果落入壞人手中，數學也能用來妨礙正義，使無辜民眾失去生計、失去生命。