[閱讀筆記] The Math of Life and Death - ㊆ 易感者、感染者、排除者：將疾病控制在我們手中 (Susceptible, Infective, Removed: How to Stop an Epidemic)

 

1. 聲勢日益浩大的反疫苗接種運動，令全人類暴露於風險中；利用數學，我們才能對抗全球流行病。在種種攸關生死、希望能將疾病從地球掃除的作為中，數學正是一切核心。

2. 👩‍🔬🧪🧫💉 在 18 世紀，天花死亡率 20%、接種天花疫苗死亡率是 2%。1766年瑞士數學家 Daniel Bernoulli 第一次嘗試用統計數據分析問題。當時的數據目前仍被保存著，這個數據被用來分析天花的傳播和死亡率，並以此證明疫苗的效力。根據最後的分析結論，在天花肆虐的年代，只有 43% 的嬰兒能活到 25 歲；如果全民都接種天花苗，將有 50% 的嬰兒能活到 25 歲，當時的醫療水準不高，此增長顯示疫苗有大幅改善存活率。

3. 傳染病 S-I-R 模型 《The Model Thinker》https://reurl.cc/DZWd4m

S-I-R 模型說明
S (Susceptible，可能感染者)	有可能感染疾病的人
I (Infective，感染者)	確實染病、能傳染給別人的人
R (Removed，排除者)	已染病且痊癒或死亡者，不再是傳播病毒者
基本傳染數
S-I-R 模型設定了一個臨界點，稱為「基本傳染數」(basic reproduction number)，以 R0 表示。R0 等於「接觸機率」乘以「傳播機率」除以「復原機率」。疾病的 R0 如果 > 1，則可以透過人群傳播；如果 R0  < 1，則疾病會逐漸消失。 例如，流行性感冒的 R0 = 3；而透過空氣傳播的麻疹是 15；透過性接觸和共用針頭傳染的 HIV 病毒是 4。 估算 R0 的大小時，並不會假設人們因疾病而改變日常行為。但實際上若學校受到蝨子侵擾，家長可能會將小孩留在家中，藉此減少接觸機率；或者，家長可能會幫小孩剃頭，藉此降低接觸時的傳播機率，這些動作都會降低蝨子傳染的 R0。
疫苗接種閾值 (vaccination threshold)
如果沒有疫苗，隔離是一種高成本、但能解決疾病傳播問題的選項。如果疫苗已經研發成功，接種疫苗能有效預防疾病傳播，甚至不必所有人都接種疫苗，就能避免疾病傳播。 「疫苗接種閾值」(vaccination threshold) 代表需要接種疫苗來避免疾病傳播的臨界相關人群比例，由模型可以推導出計算公式為：疫苗接種閾值大於或等於「R0  減 1 之後，除以 R0 」。 疫苗接種閾值的大小，會隨著基本傳染數的增加而提高。若要避免基本傳染數為 6 的脊髓灰質炎（會造成小兒麻痺症）傳播，5/6 的相關人群必須接種疫苗；但若要避免基本傳染數為 15 的麻疹傳播，則需要 14/15 的相關人群接種疫苗。 推算出疫苗接種閾值，有助於制定公共衛生政策。如果接種疫苗者的占比太少，則疾病會持續傳播，因此，政府通常會接種超過SIR模型估算閾值的相關人群比例。而像是麻疹、脊髓灰質炎這類基本傳染數極大的疾病，政府會要求每個人都要接種疫苗。 有些人擔心疫苗會帶來副作用，因此不願參與疫苗接種計畫。如果擔心的人只占總人口一小部分，其他絕大多數人接種了疫苗之後，也能避免疾病傳播給未接種疫苗的人，流行病學家稱這種現象為「群體免疫」(herd immunity)，這等於是：選擇不注射疫苗的人，搭了注射疫苗的人群的順風車。
S-I-R 模型告訴我們
透過自我隔離此簡單的方法，就能減少疾病傳播機會，進而縮小疾病爆發規模； 許多餐飲業、學校、醫院的從業人員，都存在許多勉強出勤的狀況，勉強出勤 (presenteeism) 只會導致更多人生病，降低整體效率。如果你身體不適，就不該去上班。如果你待在家直到康復，就是讓自己從「感染者」重新分類為「排除者」； 勉強出勤最嚴重的是餐飲業，單單在美國， 2009 ~ 2012 年間就發生超過 1000 起的諾羅病毒感染事件，影響 21,000 人，而其中 70% 與服務人員生病有關。 疫情最後消散是因為沒有感染者 (Infective)，而不是因為沒有易感染者 (Susceptible)。

4. 接觸者追蹤 (contact tracing)

說明

流行病學專家不斷追溯許多受感染的世代，直到最初發病的那一個病例，也就是所謂的「零號病人」。

接觸者追蹤的功用

了解病毒傳播的複雜模式，設法預防未來再次爆發，讓我們能及時應對、控制疾病傳播。 任何人只要曾與感染者在潛伏期內有直接接觸，就必須隔離到證明未受感染為止；如果在隔離期間發現確實遭受感染，就須繼續隔離，直到確認不會再傳染該疾病為止。

5. 以 SARS 為例， R0  = 2，第一位患者是零號病人，會將 SARS 傳染給兩個人，這兩個人會再傳染給其他兩個人，以此類推。如果繼續這樣傳播，過了 10 代，就會超過千人被傳染；再過 10 代，總數將超過百萬人。

病毒傳播圖

病毒的發展

正如迷音的病毒式瘋傳、金字塔型騙局的擴張、細菌菌落的成長，R0 所預測的指數成長多半在幾代後就無以為繼。因為易感染者與感染者的接觸率逐漸降低，爆發最後最有高峰，接下來就是下降。 最終，就算已經沒有剩下任何感染者，疫情正式結束後，還是有一些易感染者從頭到尾都未受感染。

影響 R0 值的三項因素

① 人口規模、② 病毒傳染力 (force of infection)、③ 病患康復或死亡速度 ① ② 增加，R0 值增加，越可能會大爆發； ③ 增加，R0 值降低，康復快代表能將疾病傳染給他人的時間越短，疾病爆發可能性就越小。 對我們來說，只有前兩項是可控的；雖然可用抗生素或抗病毒藥物來治療，但康復或致死率是由治病病原體本身特性決定。

Re (有效傳染數, effective reproduction number)

指的是在疾病爆發過程的特定時間點上，每位感染者平均造成的續發感染人數 (secondary infection)。如果透過醫療干預將 Re 值 < 1 ，疾病就終將消散。

R0 值與疾病影響程度之間的關聯

R0 值對疾病控制很重要，但無法告訴我們疾病對患者的影響有多嚴重。麻疹的 R0 值約 12 ~ 18， Ebola (伊波拉病毒) 的 R0 值約 0.5，雖然麻疹傳播迅速，但與致死率高達 50%~70% 的 Ebola 相比，只能說小巫見大巫。 致死率高的疾病，通常傳染力很低，因為太快殺死病患，就會降低傳染機會；只有災難片才會看到致死率高、傳染力高的疾病。 雖然高致死率會提升對某個疾病的恐懼，但相較之下，R0 值高、致死率低的疾病，可能因感染人數更多，最終導致更多人病故。

6. 想減少疾病傳播，最有效的選項之一就是「接種疫苗」，讓民眾從易感染者 (S) 變成排除者 (R)，有效降低易感染者規模。然而，接種疫苗屬於預防措施，目的是減少疫情爆發的可能性；當疫情大爆發，想在有限的時間完成有效疫苗的研發與測試，往往是天方夜譚。

7. 對付動物的傳染病，最有效的方式是「撲殺」，此舉能快速降低 Re (有效傳染數, effective reproduction number) 到 1 以下。英國在 2001 年陷入口蹄疫風暴時，除了撲殺遭感染的動物以外，並採取「環形範圍撲殺」(ring culling)，將受感染的農場的半徑三公里內的動物 (不管是否有受感染) 全面撲殺，藉此讓傳染期從三週縮短到只剩幾天，快速且大幅下降 Re 值。撲殺未感染的動物，就是減少易感染的動物 (與Re 值相關因素之一)，從數學上就可以得知此舉能減緩疾病傳播。

8. isolation 隔離 / quarantine （隔離）檢疫 (https://reurl.cc/XlOxRD)

隔離 / 檢疫	說明
Isolation	將已經患病的人跟健康的人隔離開來，避免傳染疾病
Quarantine	隔開或限制可能與患者接觸的人的行為，看看他們是否有被傳染

9. 若是在未接種疫苗的人爆發疾病，無法實施撲殺的手段。然而，隔離檢疫 (quarantine) 與隔離 (isolation) 已被證明是有效的方法。將已感染者隔離 (isolation)，可以降低傳播速度；隔開或限制可能與患者接觸的人的行為 (quarantine)，則可減少易感染者族群。兩者都可降低 Re 值。

10. 歐洲最後一次爆發天花疫情是 1972 年的南斯拉夫，政府大舉徵用旅館，實施檢疫 (quarantine) 與隔離 (isolation) 政策，快速降低天花傳播。

11. 對於水痘之類相對輕症的疾病，若將染病與未染病的兒童互相隔離開來，將嚴重影響上課天數。數學模型還證明，若要求健康的孩子居家檢疫，將會讓他們在年紀較大時才感染水痘，將引發更嚴重的併發症。

12. Ebola 傳染期非常的長，在病患死亡後，屍體仍具有極高病毒量，任何與屍體接觸的人都可能遭受感染。更糟糕的是，獅子山的喪禮習俗，包含撫摸屍體，當地因喪禮而導致疫情大爆發。💀 根據 2014 年的研究，Ebola 的新增病例有 22% 來自喪禮，自從限制喪禮儀式後，終於控制 R0  值，並在 2016 年宣告疫情結束。

13. 兒童疾病會以週期性爆發模式反覆出現，原因在於 Re (有效傳染數) 值會隨著易感染的族群大小而變動。每次疫情大爆發，就會有大批沒有抗體的兒童遭到感染。

14. 群體免疫 (herd immunity) 是指，當免疫族群夠大，就足以減緩、甚至阻止疾病傳播，好比各種兒童疾病爆發之間會出現休眠期。這種群體效應有個令人意外的特性，不需要每個人都對疾病免疫，就能讓所有人口得到保護，只要讓 Re (有效傳染數) 值 < 1，傳播鏈就會斷掉，使得疾病無法傳播。

15. 群體要有多少比例才能達到免疫， R0 (基本傳染數) 是決定關鍵。假設有個人感染致命流感，假設他在為期一週的傳染期遇到 20 個易感染者，並傳染給其中的四個人，這流感的 R0 (基本傳染數) = 4、 Re (有效傳染數) = 4【圖一】；假設有一半的人曾接種疫苗，這流感的 R0 (基本傳染數) = 4、 Re (有效傳染數) = 2 【圖二】；假設有 3/4 的人曾接種疫苗，這流感的 R0 (基本傳染數) = 4、 Re (有效傳染數) = 1 【圖三】。對於 R0 (基本傳染數) = 4 的疾病，需要讓 3/4 的人接種疫苗，才能讓 Re (有效傳染數) < 1；換言之，若想達到群體免疫門檻，未接種疫苗的人口比例不能超過 1/R0 。

【圖一】	【圖二】	【圖三】

16. 舉例來說，水痘的 R0 (基本傳染數) = 10，也就是必須讓 9/10 的人免疫，才能讓剩下的人受到保護；麻疹的 R0 (基本傳染數) 約 12 ~ 18，需要92% ~ 95%的人口接種疫苗才行。

17. 事實證明，只要經常、仔細洗手，這個簡單舉動就能讓流感之類的呼吸道疾病 Re (有效傳染數) 值大幅減少 3/4。而對於某些疾病，更可能已經足以讓 R0 (基本傳染數) 值降到門檻值以下，使疾病無法爆發流行。

18. 接種疫苗是個理所當然、根本無須考慮的決定，不但可以保護自己，更可以保護家人、朋友、鄰居和同事。 WHO 的數據顯示，疫苗每年拯救數百萬人的生命，只要我們繼續改善全球的施打率，還能再多拯救幾百萬人。疫苗是預防致命疾病爆發的最佳機會，也是讓這些疾病永遠無法造成危害的唯一機會。