[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第14章：平庸會出頭 (The Triumph Of Mediocrity)

 

1. 👫 Francis Galton 在 1889 年出版的《Natural Inheritance》書中寫道：「不管乍看之下有多難以置信，它卻是理論上必然的事實，同時能從觀察裡清楚得到確認，相較於雙親，成年後代的身材會更加中等。」Galton 發現，身高較矮的父母，他們的子女雖然會偏矮，但並沒有像父母這麼矮；身高較高的父母，他們的子女雖然會偏高，但可能沒有像父母這麼高。

2. Galton 因此推論，除了身高遺傳，智力成功應該也有類似現象。他的想法與常識經驗吻合，偉大作曲家、科學家、政治領袖的子女，經常在同一領域表現出色，但是很少如父母那麼耀眼。

3. 🌍 宇宙的運轉，有必然性及隨機性。必然性使人願意努力，隨機性使人對未來充滿盼望。諸如兩次測驗成績以及兩代的各種表現等，常有均值迴歸效應 (regression toward the mean)，在智商及遺傳等必然性之外，增添了隨機性 (Ref: https://reurl.cc/Nr1n49)。

4. 📚 🎵 第一本書就造成轟動的作家、或首發專輯就爆紅的流行樂團，他們的第二本書、第二張專輯，為什麼極少數會如同上一次這麼受歡迎？這並不完全是大多數藝術家僅有一件值得發表的心血結晶，而是因為藝術成就裡混雜了天賦與運氣，就像生活中其他的東西，也逃不過均值迴歸的影響。

5. 🏈 簽下多年高薪肥約的美式足球員，簽約後的下一季，接球後能跑的碼數往往會減少。有人說他們喪失多跑幾碼的金錢誘因，這種心理因素或許有些許影響，但另一個重要因素是，正因為他們當年表現極好，才能獲得肥約；緊接著下一季，因均值迴歸，表現迴歸平均水準。

6. ⚾ 以 MLB 的歷史資料顯示，平均來說，強打者在下半季的全壘打數，只達上半季的 60%。以 Mickey Tettleton 為例，1993 年上半季打出 24 發全壘打而領先群雄，但下半季只打出 8 發全壘打。不只 Tettleton，整個聯盟的強打者都有類似傾向，這單純就是向平均值迴歸的現象。人的心理對於向平均值迴歸的現象有些抗拒，看似強大的打者，鮮少名副其實地強大。

7. 迴歸是生命體特有的性質，從親代到子代的過程中，迴歸使變異強度減輕，物種得以保持其類型。親代會因子代而迴歸，所以不正常的孩童的父親，子代通常較正常，以減輕雙親不正常的程度。

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第13章：火車鐵軌相交之處 (Where The Train Tracks Meet)

 

1. 假設你有一個 1/2 輸贏的賭注，輸了付 10 萬，贏了拿走 20 萬，這賭注的期望值是 12(-10萬)+1220萬=5萬。平均每賭一次就可以拿走 5 萬，六次就可拿走 30 萬，跟你直接拿錢一樣。

2. 對有錢人來說，$1000 = 1U；對於普通且收入微薄的人，$1000 可能等於 20U。對收入微薄的人來說，50% 一敗塗地的機會，是無法承擔的風險，再不保證可以獲得巨大報酬的情況下，不該冒險；對有錢人來說，有足夠的銀彈奧援，能吸收偶發的損失，因持續投資而更加富有，不夠錢的窮人只能原地踏步。

3. 變異數 (variance) 用來量度決策產生的各種結果的分散程度，也告訴你有多少可能性會碰到兩端的極端值。

投資標的	變異數 (variance)	說明
債券	小	波動大、獲利小
股票	大	波動大、有可能大賠或大賺

4. 理財的主要挑戰之一就是與變異數打仗，正因為是變異數，所以退休基金必須分散持股。若你把退休金都放在石油與天然氣股票，一旦能源受到重創，你的投資組合就會灰飛煙滅。Burton Malkiel 於《A Random Walk Down Wall Street》書中提到，你應把儲蓄投入一個巨大指數基金的原因，也許很乏味，但是會很有成果。

5. 投資普通股票和債券的持有期越長，風險就越低，但是你得有耐性忍受過程中，投資價值逐年波動的情形；S&P 500指數的表現，長期優於共同基金與機構投資人的平均績效。成長型和價值型共同基金能勝過股票指數的，屈指可數。(Ref: 《A Random Walk Down Wall Street》)

6. 在業餘網球賽中，得分大都不是靠我方的熟練表現，而是靠敵方的失誤而來，投資也是如此。大部分投資人都是自己打敗自己，因為他們採取錯的股市策略，而不是採納被動長期投資指數方法(buy-and-hold indexing approach)。(Ref: 《A Random Walk Down Wall Street》)

7. 法諾平面 (Fano plane)

投影平面（projective plane）

在數學裡，投影平面（projective plane）是一個延伸平面概念的幾何結構。在普通的歐氏平面裡，兩條線通常會相交於一點，但有些線（即平行線）不會相交。投影平面可被認為是個具有額外的「無窮遠點」之一般平面，平行線會於該點相交。因此，在投影平面上的兩條線會相交於一個且僅一個點。

投影平面 (projective plane) 的幾何遵守的公設

Any two lines intersect at a unique point. Any two points are connected by a line. There exist four points such that no three are on the same line.

法諾平面 (fano plane)

fano plane 應用於彩票

【規則】號碼總共 1 ~ 7 號，玩家選三個號碼， 3 個都猜對就獲頭獎，或者猜對 2 個得小獎。 【技巧】從7個數中選3個，一共有35種可能的組合 (C37=7!4!3!=5040246=35)，所以說你只有 1/35 的機會中頭獎。不過你可以利用法諾平面來增加你猜中兩個數小獎的機會。 【實例】在 fano plane 給 7 個點依次標上 1 ~ 7，接著看每條線上的數字。我得到了124、135、175、236、347、257、456。你會發現每個數對都恰好出現了一次。不管中獎的數字是哪些，我們都至少猜中了3個中的2個。如果你標數字的順序和我不一樣，你會得到不同的數組，不過還是有同樣的性質。

技法的真相

這是簡單的幾何，每一對數字恰巧出現在一張彩券，因為每一對點線恰巧屬於一條線。

8. 錯誤更正碼 (error-correction code) 機制

說明

這是一種通訊協定，能幫助接收者在有雜訊干擾的狀況下消除錯誤。 工程師為了解決訊號干擾，仍在苦苦掙扎，因為你越希望信號能抵抗雜訊干擾，訊息就會越長且傳送緩慢。在一定時間內，你的通道能可靠傳送的訊息長度，會受制於雜訊的存在。

漢明碼 (Hadamard Code)

在通訊領域，漢明碼又稱為海明碼，於1950年，由美國數學家理查德·衛斯里·漢明 (Richard Wesley Hamming) 發明，相較於基偶同位元檢查，除了不能糾正錯誤，且也只能偵測到錯誤，而漢明碼主要功能是具有1位元錯誤偵測與更正功能，能找出錯誤位元的位置。 公式﹕m + r + 1 <= 2^r，m為資料所具有的位元數，例如m=8表示有8位元。 r 為檢查位元數(漢民碼的長度) 假設資料有4位元，m=4，則(4+1)+r<=2^r，r為3，因 (4+1)+3<=2^3 假設資料有8位元，m=8，則(8+1)+r<=2^r，r為4，因 (8+1)+4<=2^4 ，漢明碼為資料和檢查碼的結合，8bits(原始資料)+4bits(檢查碼)，所以漢明碼為12位元所組成。

漢明碼 (Hadamard Code) 產生

漢明碼 (Hadamard Code) 還原

假設接收資料受到干擾，最終找出第 10 位元有誤，應從 0 改為 1 假設接收資料受到干擾 假設接收資料未受到干擾

9. 透過 Hamming 的發明加上後人持續改進，錯誤更正瑪已改變整個通訊工程。建造多重防止並檢查錯誤的機器已經不再是目標，因為有 Hamming 的貢獻，只需使錯誤盡量少發生，錯誤更正碼的彈性就足夠抵抗雜訊影響。現在，任何需要快速、可靠傳送資料的地方，就會找到錯誤更正碼的存在，例如，環繞火星的水手 9 號把火星表面的照片送回地球時，使用了稱為阿達瑪碼 (Hadamard code) 的錯誤更正碼；光碟片使用 Reed-Solomon Code 的錯誤更正碼，即使以刮傷光碟表面，聲音仍然完好。

10. 任何禁得起雜訊干擾的通訊系統，都基於相同原理。自然語言也根據相同原理運作，例如，我把 language 誤寫成 lanvuage，你會知道我原本想寫什麼。但是 dog, cog, bog, log 這些常見的字，上述道理就不管用，如果雜訊把第一個音節搞砸，就沒辦法知道原來想說的是哪一個，不過在此例子裡，可以用字與語意距離來幫你校正錯誤，如果會咬你可能就是 dog，如果會從上面摔下來可能是 log (圓木)，以此類推。

11. CRC (Cyclic Redundancy Check，循環冗餘檢查)  被廣泛運用於通訊或其他序列傳輸的系統中，方法為運用同餘多項式運算，在原有訊號之後加入一串稱為 FCS (Frame Check Sequence) 的檢驗序列。Checksum 的產生機制很簡單，將資料分成 K 小塊之後，將每塊的所有值全部相加之後得到一個數字，再取其 1′ 補數，就可以得到 Checksum。Checksum 的檢查機制則是將所有收到的 K 個小塊中所有值相加再加上 Checksum 後，再取其 1′ 補數，若結果為 0 則表示正確，不為 0 則表示傳輸中有發生錯誤 (https://reurl.cc/rgdDKk)。

12. 人會以階級而非數值量來思考財富。如果你是中產階級的勞工，每周花 $5 美元購買樂透彩，輸錢雖然是損失，但負效用幾乎近於 0，然而若你獲得頭彩，就會讓你的社會階層往上移動。你可把這個想成「臨終在床」(deathbed) 模型，你會介意在撒手人寰前，因為投注樂透而財產少一些嗎？我想不會；但如果你中頭彩，35 歲就能退休，把餘生都在遊山玩水與享樂，你會在意嗎？當然會！

13. 在樂透彩的情境，人類會給低機率事件較大的權重，得頭獎的誘惑力會衝破根據嚴格計算期望效用所允許的程度。

14. 大樂透成癮的賭徒與創業家兩者相同，都遇到勝少敗多的狀況。難道企業家精神也是一種政府向愚人徵的稅嗎？當然不是，差別在於經營生意的效用，正如同買樂透的效用，並非僅從期望的金額來量度。能實現一個夢想，甚至只是嘗試去實現它，就已經得到回報。

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第12章：錯過更多班機 (Miss More Planes!)

 

1. 芝加哥大學教授及1982年諾貝爾經濟學獎得主 George Stigler 曾說：「如果你從沒錯過航班，那麼你就是在機場耗費太多時間了 (太早到機場)。」主流經濟學認為，人依靠理性做決策時會追求效用 (utility)。

Scenario 1

假設待在家一小時是 1U、提早兩小時去機場是 -2U、錯過航班 -6U：提早 1.5 小時到機場能獲得最大效用

Scenario 2

假設待在家一小時是 1U、提早兩小時去機場是 -2U、錯過航班 -20U：提早 2 小時到機場能獲得最大效用

2. 消滅浪費也有成本，就像提早去機場也會有成本。嚴格執法與強力監督是值得追求的目標，但是消滅所有浪費，正如消滅極微小的誤機機率，所需成本更勝於獲利。

3. 聖彼得堡悖論 (St. Petersburg paradox)：由尼古拉一世·伯努利提出，這個悖論源自一個丟硬幣遊戲：出現正面可得 2 元，下次又是正面則獎金加倍，以此類推，直到出現反面為止。那麼你願意花多少錢參加這個遊戲？若按期望值來算，其期望值是無限大（ 2*½ + 4*¼ + 8*1/8 + …… ），但顯然沒有人願意掏出幾十元來玩這遊戲；這個矛盾如何解釋？丹尼爾用「邊際效用遞減原理」與「最大效用原理」做出合理的解釋，成為現代經濟學的基礎。(Ref : https://reurl.cc/DvRVom)

4. 邊際效益遞減法則 (The law of diminishing marginal utility)：只要手邊同個產品的數量持續增加，你對它的喜愛程度會逐漸下滑。廠商之所以會推第二份半價、續杯折扣的促銷方案，就是知道消費者買了更多產品，邊際效益會隨之降低。用這個概念來思考研發和改善產品功能，你可以進一步省思追求極致、完美的必要性，畢竟當產品的品質好到一個程度後，大多數消費者可能就分辨不出或感受不到了。拿耳機來說，廠商很努力提升播放音質，一開始顧客會發現聲音變清晰、雜音消失了，但是接下來，就愈來愈少人能感覺到音質的進步。(Ref : 《Poor Charlie’s Almanack》)

5. 效用最大化 (maximization of utility)：在風險和不確定條件下，個人的決策行為準則是為了獲得最大期望效用值而非最大期望金額值。

6. 每個人的效用曲線都不盡相同

雷伯維茲效用曲線	曼昆效用曲線
雷伯維茲在年輕時在曼哈頓開計程車，當月所賺的錢足以支付房租與飲食後，就停止開，動手寫作到該月底。對雷伯維茲來說，付了房租以後，效用 = 0，效用曲線趨於平坦。 若遇到加稅，會被迫工作更久時間，好讓自己的收入達到門檻。	目前已達平衡狀況，若多做 1 小時，會被少與子女相處一小時的效用抵銷。 若遇到加稅，會減少工時。

7. 金錢不能以它的數量值來估算：金錢只是財富的符號，假如它就是財富本身，也就是說從財富中得到的快樂或福利，會確實的與金錢呈現正比，那麼人就有理由以金錢的數量來估算財富。但在生活必需的部分，人從金錢中所得到的福利，往往僅適度的與它的數量呈正比，擁有 1000 萬的富人，快樂程度並非擁有 100 萬的人的十倍。有些東西是勝過金錢的，當金錢超過某種限度，就會失去具體價值，不能再繼續增加擁有者的福祉。

8. 風險 (Risk) 與不確定性 (Uncertainty)

風險 (Risk)	不確定性 (Uncertainty)
是可觀察、可預見、有時還可量化改變、通過財務或運營等各種工具管理	是不可觀察、預見、量化
可控制	不可控
可測量	無法測量
結果有機會資料	結果未知
遇到風險問題時，計算分析很重要	遇到不確定性時，戰略思考很重要
Risk is measurable uncertainty	Uncertainty is unmeasurable risk
Ref: https://reurl.cc/5oeogM

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第11章：你期望贏得樂透時，是在期望什麼 (What To Expect When You’re Expecting To Win The Lottery)

 

1. 有句老話說，樂透是「笨人繳的稅」，是政府犧牲那些遭誤導去買樂透所獲取的收入。如果你把樂透看成稅收，你就知道為什麼美國各州的財政局都喜歡樂透。還有別的稅目能讓人在便利商店大排長龍去繳嗎？

2. 期望值很適合用來標定物件的恰當價格，例如在真正價值並不確定的賭狗場合，如果用 $12 下注，長期下來可能會輸錢；反過來說，如果改用 $8 下注，或許應該盡量長期下注。

3. Laplace’s Law (拉普拉斯定律) 計算期望值：假設買 n 張彩券有 w 張中獎，期望值= w+1n+2。想算出公車遲到機率嗎？你參加的壘球隊的贏球機率？只要算一下過往發生次數 + 1，再除以機會數 + 2 即可。拉普拉斯定律的優點在於，無論只有一個資料點或是有數百萬個資料點，它一樣有效。例如，地球上已經連續看見太陽約 1.6 億次，明天太陽還是會升起的機率與 100% 無差別。

過往經驗	成功機率
嘗試 10 次，成功 5 次	5+110+2=612=0.5
嘗試 1 次就成功	1+11+2=23=0.667

4. 年金的定價與投保年齡有關，這也是期望值的概念。透過新生與死亡的統計，就能估計每位年金購買者的存活機率，計算出年金的期望值：「購買年金的人應依他的存活機率，付出相對應價格；這需每年計算一次，最後把那些年度價值加總後，就是購買者終身年金的價值。」換句話說，老爺爺未來日子較短，所以年金購買價格會比孫子便宜。

5. 期望值和機率的運作概念仰賴大數法則，數量足夠多的情況下比較有參考價值。例如，投擲一枚公正的硬幣出現人頭的機率二分之一，指的是投擲足夠多次後人頭出現的頻率約佔全部的二分之一，足夠多可能只要幾千或者甚至幾百就能夠觀察出來，而中樂透頭獎的足夠多次可能就得進行高達以億兆萬計的等級。(Ref: https://reurl.cc/dVE74q)

6. 平均來說，玩樂透的人花出去的肯定比贏回來的人多，所以樂透的期望值必然是負的。當頭獎獎金極高、你又想投注且不想跟別人平分時，有幾個策略：

避免獎金平分的策略

用電腦選號：所有贏錢的彩券中，有 70% 是電腦選號的； 不要用日期選號：如果你要自己選號，避開低於 32 的數字。因為如果你的中獎號碼是別人的幸運日期，就會增加你平分獎金的機會。 遠離眾所皆知的號碼：不要挑選大家都知道的數字，例如上一期中獎號碼。

7. 對於政府來說，彩券賣得越多，國庫進帳更多。所以，政府只關注有多少人買彩券，不管誰贏錢、只管抽稅，因為贏走的錢也是買家們貢獻的錢，不是政府的錢。樂透得主賺的不是政府的錢，是其他買家的錢，投注集團沒有打敗莊家，他們自己就是莊家。

8. 大樂透期望值計算

頭獎機率計算

P(頭獎機率) = 1C649=113,983,816=0.00000007151123842

期望值計算 (大樂透一張 $50)

頭彩獎金 期望值 公式 100,000,000 -42.85 頭彩獎金P(頭獎機率) -50 200,000,000 -35.70 300,000,000 -28.55 400,000,000 -21.40 500,000,000 -14.24 600,000,000 -7.09 700,000,000 0.06 800,000,000 7.21 900,000,000 14.36 1,000,000,000 21.51 1,100,000,000 28.66 1,200,000,000 35.81

結論

大多數購買彩券的人都是慈善家，他們付出的總是比得到的多，讓我們一起祝福這些善心人士全家平安，事業順利發大財；少部分的人真正賺到比成本高的報酬，但是報酬也不高；絕無僅有的致富案例只有中頭獎的那一個人。 理性賭徒的期待很難稱得上理性，因為獎金期望值的高低幾乎不影響你能否賺到比成本高的報酬。在樂透獎金分配設計上，往往只有頭獎和貳獎能夠參與高額獎金的分配，其餘獎項都是固定獎金制。換句話說，除非中了頭獎或貳獎，否則高期望值和你一點關係也沒有。(ref: https://www.shs.edu.tw/works/essay/2010/11/2010111210550174.pdf, https://reurl.cc/2b2KaX, http://www.math.nsysu.edu.tw/outstanding/use/report/j01.pdf )

9. 賭場經營是一門生意而不是在賭博：大量客人平均贏的錢會很接近期望值，而莊家老早就算好了期望值，並且知道長期下來，這門生意會賺多少錢。 

10. 人壽保險公司的運作很像賭場─賭被保險人會不會死亡：依據死亡率，預測出必須給付的理賠金期望值，然後訂出保費來保障其公司之利潤。