[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第3章：每個人都肥胖 (Everyone Is Obese)

 

1. 線性迴歸 (linear regression) 是社會科學最仰賴的統計工具，每當你讀到報紙說，表親越多的人越快樂、開設 Burger King 越多的國家風氣越敗壞、美國人收入每增加 3% 投給共和黨的人會增加 3% 等，這些都是利用線性迴歸在預測趨勢。

2. 我們可以很容易且聰明地，將已經發生的事情勾勒出其因果關係 (cause-and-effect relationship)，這是線性思考 (linear thinking) 的心智模型 (if A then B)；然而，當我們要預測未來時，通常都不管用。(Ref: Learn to Think in Systems)

3. simple linear regression 是度量看不見的東西或預測尚未發生的事件結果的強大工具。藉由統計學的幫忙，你就能在只看到另一個變數表現時，準確猜測某人在目標變數上可能的 scores。迴歸分析 (Regression Analysis) 是利用一組自變數 (或稱預測變數、獨立變數、predictor variable) 對某一因變數 (或稱準則變數、criterion variable) 建立關係式以便做為預測的依據，它也可以做為評估自變數對因變數的效用。迴歸的主要目的是做預測，只用一個自變數來預測應變數稱為 simple linear regression；用一個以上的自變數來預測因變數稱為 complex linear regression。

變數	變數類型	平均數	標準差
ACT Scores	自變數 (predictor variable)	20.10	2.38
GPA Scores	因變數 (criterion variable)	2.98	0.68
Weight=correlation coefficientCriterion Standard DeviationPredictor Standard Deviation=0.55.682.38=.16 Constant = Criterion Mean-(WeightPredictor Mean)=2.98-(.1620.1)=-.24 Criteria=Constant+(PredictorWeight) Predict GPA=-.24+(ACT Score.16)
申請人	ACT Score	Predict GPA
Melissa	26	-.24+(26.16)=3.90
Bruce	14	-.24+(14.16)=2.00

4. regression analysis 的適用性 (Ref: Statistics Hacks)

適用性	說明
適用於	當兩個變數彼此相關 (correlate)，你就可以用一個相關變數來預估另一個變數與平均的變異 (包含平均值、標準差和相關係數等資訊)。
不適用於	若兩個變數間的相關性不完美，預測的準確性也不會完美：由於沒有完美的 1.0 相關性存在，你可以用估計的標準差 (standard error of estimate) 來判斷你的誤差大小。 變數的關係強度的分佈不是線性：若變數的關係強度的分佈不是線性，預測就會產生很大的誤差。 收集的資料沒有代表性：若一開始收集來建立迴歸方程式中的那些資料沒有代表性，預測結果也會有錯。

5. 模型如果太簡單 (ex. 單因素模型所形成的直線)，可能無法表現資料的主要型態；模型如果太複雜 (ex. 九因素模型)，又會太容易受到取得資料點的影響，這就是統計學家提到的 overfit (過度配適)。在機器學習領域有個十分重要的事實，使用因素較多、較複雜的模型，未必能得到較好的預測結果，複雜型帶來的問題，反而使我們的預測變得更糟。

6. 若樣本資料極具代表性，採用最複雜的模型會是個好辦法；若樣本資料有偏差，採用最複雜的模型就會容易遭受雜訊 (noise) 影響，遭遇過度配適 (overfit) 問題。overfit 就是資料的偶像崇拜，因為我們只注意到測量的資料，反而忽視真正重要的東西。

過度配適 (overfit) 例子	說明
① 依據歷史資料預測股市	忽視與未來股價有關的因素。
② 寄送電子郵件時，猜測收件者如何解讀	忽視收件者的解讀方式。
③ 企業的激勵制度	不同的激勵制度，可能會產生各種無法預料的結果；一家公司的 CEO 重視什麼，公司就會朝那個方向發展。
④ 工廠只重視生產指標	忽視維修與修理，最後形成重大災難。(導引員工認真地完成不當目標)
⑤ 重視網頁廣告曝光度，網頁四處是廣告	讀者不堪其擾，遠離此類網頁

7. 以統計學家的觀點，overfit 是對已知實際資料過度敏感的症狀 (ex. 學生很熟悉會考的方向)，解決方法很直接，抑制想找出完全符合模型複雜度的念頭。在統計學和機器學習中，Lasso 演算法對因素權重施加向下的壓力，最多可使它變成 0，只有對結果有明顯影響的因素才能繼續保留在方程式中，因此，一個 overfit 的九因素模型，可簡化到只剩下少數幾個重要因素，方程式也因此變得簡單穩定，增強統計模型的預測準確性和可解釋性。

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第2章：局部平直，大域彎曲 (Straight Locally, Curved Globally)

 

1. 數學世界有一條基本規律：如果宇宙給你一條難題，先試看看解一條比較簡單的問題，並且希望簡單版與原來的困難版相去不遠，而使宇宙不會全然排斥。

2. 局部平直，大域彎曲是指：假設你從高處滑降，一開始你可以看到整體，然後只看到一段弧線，然後是更短的一段直線。如同在地球表面的人類，除非聰明到能從觀察遠方物體從地球表面冒出，而發現地球不是平的，否則都會以為自己站在平面上。

開始你可以看到整體	然後只看到一段弧線	然後是更短的一段直線

3. 感謝牛頓給予我們的觀念，完美的圓並無特殊之處。每一條曲線，只要放大到夠大，看起來都是直線。只要曲線沒有尖銳的轉角，不管它多麼纏繞扭曲，都滿足此特性。

遠遠看發射的彈道飛彈	拉近一點	再拉得更近

4. 假設你用繩子綁住石頭在頭上轉圈，然後突然放手，它會沿著直線以等速飛射出去，微積分能正確告訴你，石頭脫手瞬間的前進方向。牛頓有另一個洞見是，運動中的物體會沿直線路徑前進，除非另有外力把物體推向另個方向。

5. 無窮級數的收斂

無窮級數的收斂

無窮等比數列：1, ½, ¼, ⅛, … 如果將無窮等比數列求和，就是無窮等比級數：1 + ½ + ¼ + ⅛ .... 這裡所舉的無窮等 比級數，由於公比 r = ½，滿足 |r | < 1，所以是收斂。收斂的意思是說，如果我們真的把 這無窮多項加起來，會是某個定值，也就是 1+12+14+18+...=11-12=2

例子

數不完的一群人相約到一間咖啡館聚會，他們陸續進入咖啡館並點咖啡喝，第一位點了一杯咖啡，第二位點了半杯咖啡，第三位點了14杯咖啡，第四位點了18杯咖啡，之後進來的人所點的咖啡量是上一位的一半。隔了一段時間後，這群人又到同一間咖啡館聚會，但是服務生索性倒滿兩杯咖啡，讓他們自己分配使用，為什麼? 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ....是公比 ½ 的無窮等比級數，假設級數和是S， 即 S = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ....， 則 2S = 2 + 1 + ½ + ¼ +..... = 2 + S，因此 2S - S = 2，得 S = 2。 無窮等比級數 1 + ½ + ¼ + ⅛ + ... 有極限值 2，是收斂級數。

Ref http://www.mathland.idv.tw/fun/condiv.htm  https://reurl.cc/OXNg33

6. 無窮級數的發散

無窮級數的發散

當 n 愈來愈大時，數列不會趨近於某一定數，此種數列稱為「發散數列」。

例子

有一次這群人改變了點咖啡量的方式，第一位點了一杯咖啡，第二位點了半杯咖啡，第三位點了 1/3 杯咖啡，第四位點了1/4 杯咖啡，之後進來的人所點的咖啡量是他的序號的倒數。但是這次咖啡館沒有足夠的咖啡，為什麼? 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... 這個級數是連續正整數的倒數和，稱作「調和級數」，它沒有極限值，是發散級數。

Ref http://www.mathland.idv.tw/fun/condiv.htm  https://reurl.cc/OXNg33

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 第1章：更不像瑞典 (Less Like Sweden)

 第1章：更不像瑞典 (Less Like Sweden)

1. 我們都熟知供應和需求曲線，但供需曲線很多時候並不是兩條斜線交叉，而是呈現極大的非線性。比如石油價格的波動、小麥價格的波動。《Antifragile》書中舉了一個極端的例子：2004年-2007年，世界對小麥的需求量僅僅上升了1%，而價格卻上升了兩倍。最近幾年的國內煤價，和波羅的海乾散貨指數等，都是呈現明顯的非線性特徵。(Ref: Antifragile)

2. 城市並非較大的村莊，企業也非較大的小型企業。隨著治理與管理的範圍變大，整體複雜會呈現非線性 (nonlinear) 的提升，而不是線性 (linear)。(Ref: Antifragile)

3. 複雜系統充滿了難以察覺的相互依賴與非線性的反應。非線性 (nonlinear) 表示，你施打兩倍的藥物劑量，或指派兩倍的員工數量到產線，你未必可以得到兩倍的效果，有時候可能得到多一點點的效果，或者是比原本更少的效果。(Ref: Antifragile)

4. 真實的世界是非線性的，而且會比你想得更非線性。我們身處於非線性的世界 (線性的世界只存在你的教室裡、課本中)，例如天氣預測模型深受非線性因素的影響，即便你有一個正確的模型 (實際上你一定沒有)，只要一個輸入參數有變化，你可能得到完全不同的結論。(Ref: The Black Swan)

5. 漁業經濟模型是 renewable resources，其會受到三個非線性關係的影響，雖然無法讓魚群一直成長，但若讓再生率與捕獲率維持動態平衡，就能夠永遠維持高且穩定的捕獲率 (harvest rate)。(Ref: Thinking in Systems: A Primer )

Factors	說明
價格	越罕見的魚類，價格越貴
再生率  (regeneration rate)	魚群太稀少 (找不到交配對象) 或數量太多 (沒有足夠的食物與棲息地)，都無法擁有高再生率
每單位資本的收益率  (yield per unit of capital)	取決於捕魚技術的效率

6. 亞里斯多德曾在《尼各馬科倫理學》(Nicomachean Ethics) 提過，吃太多或太少都會引起消化不良，最佳狀況應介於中間，因為飲食與健康的關係不屬於線性，而是曲線，兩種極端都不好。

7. 拉佛曲線 (Laffer Curve) 是由供給面經濟學派的 Laffer 所提出，主要在描述稅率(t) 與總稅收(T) 之間的關係。當稅率(t) 為0%的時候，人民不必繳稅，因此政府總稅收(T) 等於零；當稅率為100%時，所有的工作所得都必需繳交國庫，自然也沒有人願意工作，因此總稅額也會等於零。除了這兩個極端以外，總稅收會大於零。而經濟社會存在一個最適的稅率可以使得總稅收極大，主政者則必須設法將稅率定在最適稅率附近，以最大化國庫收益。實務上，要找出最適稅率是多少並不容易，而且最適稅率也可能隨時空背景不同而有所不同，也就是說，它並非恆常不變的，因此也增加了實證上的困難。如果主政者在判斷上出現錯誤，採行了不當的增稅或減稅政策都有可能使總稅收不增反減。(Ref: https://reurl.cc/ynNdZq )

[閱讀筆記] HOW NOT TO BE WRONG - 前言：我什麼時候才會用到數學？

 

1. 學數學要計算定積分，猶如足球員要做體能訓練與柔軟操一樣。⚽ 假設你想成為職業足球員，你就必須做一堆反覆、無聊、表面上看來毫無關聯的訓練，例如，丟擲重物、繞著交通錐跑來跑去等。球員會從日復一日乏味的訓練中練出強度、速度、直覺與彈性，練習這些操練就是在學期踢足球。

2. ✈️ 二戰期間，結束轟炸任務的英國皇家空軍 (RAF, Royal Air Force) 戰機，機身都像多孔的瑞士乳酪，受傷的彈孔多位於機翼與機尾，引擎反而較少受創。這並非代表德軍不打引擎，而是被打到引擎的戰機都無法安全返航。你去醫院恢復室，就會發現腿上有槍傷的人數，會比胸部有槍傷的人多，這並非胸部比較不會吃子彈，而是胸部吃子彈的人難以倖存。

3. 裝甲安裝太多，飛機會飛不動；裝甲安裝太少，飛機被擊落機率大增。根據數學家的分析，反而將保護裝甲安裝在引擎，才是提升戰機安全返航的關鍵。在戰爭時期，勝利經常是少被擊落 5% 飛機，或者少消耗 5% 燃油的一方。這些都不是製作戰爭電影的素材，卻是打勝仗的關鍵，這裡面每一步都是數學。

4. 對數學家而言，彈孔問題就是存活者偏誤 (surviorship bias)，此狀況存在於我們日常生活中。📈 以共同基金為例，在分析基金表現時，常會漏掉已下架的基金。《財務評論》(Review of Finance) 在 2011 年計算 1995 ~ 2004 年間，Morningstar 大型平衡基金的績效表現：

	平均增長	平均年化報酬率
只看 2011 年還存活的基金	178.4%	10.8%
涵蓋完整近 5,000 檔基金	134.5%	8.9%

5. 數學宇宙分成四個象限，本書不打算講那些複雜又深刻的定理與猜想。本書只準備帶你逛逛左上角那個簡單又深刻的象限，它們只涉及一些「原則」，應用層面遠超出你認為的數學範圍，它們只是工具腰帶上好用的工具，適當的使用一定會幫助你不犯錯。

[Microsoft Teams] 頻道內的對話消失

Problem

用 desktop 版本的 Microsoft Teams 查看頻道內的對話內容，某幾天的內容突然消失，但用手機 APP 看，對話資料存在，兩邊看到的結果不一致。

How-To

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