[閱讀筆記] The Math of Life and Death - ㊁ 敏感性、特異性、第二意見：數學對醫學有多重要 (Sensitivity, Specificity, and Second Opinions: How Math Makes Medicine Manageable)

 

1. DNA 檢測公司 23AndMe 與 Ancestry.com 所使用的基因定序技術只有 0.1% 的錯誤率，乍看之下非常可靠。但我不能忘記，如果要檢驗的遺傳變異將近 1000 萬種，0.1% 的錯誤率代表預計會有約 1000 個錯誤。因此，兩家公司獨立做出的不一致結果，確實是個令人擔心、但不令人意外的結果。或許我們該擔心的是沒有獲得後續的醫療支援配套，只獲得檢測結果而已。

2. 由於各家檢測公司採用不同的數學方法，所以對於那些個人基因組學健康報告所提出的風險數據，應該都要抱持懷疑態度。

3. Longitudinal Study (貫時性研究) 意指在不同的時間點上，針對相同的主題、對象，所做的比較性研究。(https://reurl.cc/zWjeQk)

貫時性研究種類	說明
① 趨勢研究  (Trend Study)	針對相同的主題、不同的樣本，在兩個以上的時間點蒐集資料以進行比較。 例如：政府每年會紀錄經濟成長率與其趨勢的統計。
② 世代研究  (Cohort Study)	又可稱為「同期群研究」、「年輪研究」。針對相同主題、相同的世代，在兩個以上的時間點蒐集資料以進行比較。(世代：指的是有相同經歷的一群人，如同一時期出生、入學、就職的人。) 例如：針對全國「99學年度」(同一世代) 社會工作系畢業生，每三年進行一次抽樣調查，以了解其生涯規劃發展。
③ 固定連續樣本研究 (Panel Study)	又可稱為「同組研究」、「小樣本訪問研究」。針對相同的主題、相同的樣本，在兩個以上的時間點蒐集資料以進行比對。 例如：針對幾位高中時期跳級升大學就讀的資優生，進行長年的深度訪談，以了解其跳級學習之後的長期生涯發展過程。

4. 冷門賠率 (odds against) 與熱門賠率 (odds on)

冷門賠率 (odds against)

代表預期輸掉的場次會 > 獲勝的場次； 在賽馬比賽中，除非有特別說明，不然通常都是冷門賠率； 冷門賠率 5 : 1 代表，比賽六次，預計此選手會輸 5 次、贏 1 次； 賠率一般是把「不發生某事件」的可能性比上「發生某件事」的可能性。以上述為例，就是 5/6 比上 1/5，或簡單寫 5 : 1。

熱門賠率 (odds on)

代表預期獲勝的場次會 > 輸掉的場次； 在醫療場景，通常用熱門賠率 (i.e. 「發生」比上「不發生」)； 熱門賠率 2 : 1 代表，比賽 3 次，預計此選手會贏 2 次、輸 1 次； 與冷門賠率相反，是將「發生某件事」的可能性比上「不發生某事件」的可能性。。以上述為例，獲勝機率是 2/3、失敗機率是 1/3，可簡單寫為 2 : 1。

5. 身體質量指數 (BMI, Body Mass Index) 又稱為凱特萊指數 (Quetelet index)，是由一個人的體重和身高計算出的一個數值。BMI 的定義是體重除以身高的平方，以公斤/平方公尺為單位表示，由體重 (公斤) 和身高 (公尺) 得出。但 BMI 最大的問題，就是把肌肉與脂肪混為一談，瑞典健康機構 Amra 的負責人 Tommy Johansson認為在衡量內臟脂肪方面，BMI 作用很小。(https://reurl.cc/q1j5bp)

不適用 BMI 的例子

隨著人們年齡增長，肌肉比例會減少。儘管他們仍在"健康體重"範圍內，但卻有可能有大量內臟脂肪，特別是一些吸煙者。 肌肉比脂肪密度大，因此比脂肪重。他們的 BMI 指數可能會超標。但實際上他們可能非常健康。當然，他們只佔人口的極少數 (約為1%)。 BMI對孕婦也不適用。一些少數族裔人群儘管BMI指數較低，但仍有高風險。

醫生的建議

無論胖瘦，BMI 都不是正確的指標，應改為「體脂率」，畢竟體脂率與心臟代謝的指標密切相關。 無論你BMI指數是多少都應該適度減肥，保持腰部苗條。男性最好不要超過94厘米（37英寸），女性不要超過80厘米（31.5英寸）。 最好把BMI與其它讀數結合起來看，例如血壓、膽固醇以及家族史等來判斷一個人得二型糖尿病或是心臟病的風險。 當人們減肥時，首先減掉的是內臟脂肪。而且，只要體重減輕5%就可以大大減少內臟脂肪。

6. 阿基米德想確認王冠是否以純金打造，得想出比對王冠的質和量的辦法。阿基米德的難題是，他既不能融化王冠，又得精確算出它的體積。🛀 直到他踏進公共浴池時，注意到水位升高的現象，才靈光一閃：要測量不規則的物體時，觀察他排出多少水就好。據說阿基米德極其興奮，連衣服都沒有穿，就急著跑回家，並一邊歡呼：「Eureka !」這希臘文的意思是「我知道了」，後來變成科學新發現的同義詞。《The Most Human Human》

7. 阿基米德浮體原理 (Archimedes's principle)：⛵ 物體在液體中所獲得的浮力，等於物體所排出液體的所受的重力。此一成就影響後世至深，遠勝揭露金匠的舞弊。

8. 水中秤重法 (hydrostatics weighing 或 underwater weighing) 是運用阿基米德浮體原理，正確計算人類體脂 (https://reurl.cc/35lQDl)

方法假設

假設人體是由脂肪量 (fat mass) 和無脂質量 (fat-free mass) 構成，脂肪多的人身體密度 (density) 較低，排水量較少；脂肪較少的人身體密度較高，排水量較多。

原理

利用「當身體浸入水中時，因為浮力的作用，排除的水量等於身體減輕的重量」來測量身體密度，再利用已知公示計算出身體脂肪比例。因人體中骨頭和肌肉的密度比水重，脂肪的密度比水輕，所以兩個體重相同的人，脂肪比例較高者的身體密度會較低，排水量較少。 水底秤量法雖然較為準確，但需要特別的裝置，測量時亦需要較長的時間去完成。此外，由於水底秤量法要求受試者要完全呼氣後再閉氣沉入水中，未必適合不諳水性的人士，對兒童、長者及殘障人士亦未必適合。

計算公式

人體密度公式 男性肺餘容積=0.017 (年齡)+0.06858 （身高以英吋表示）-3.477；女性肺餘容積=0.009 (年齡)+0.08128 （身高以英吋表示）-3.9

9. 上帝公式 (God Equation)：決定英國國家健保局會支付那些新藥的費用，實際上也是決定哪些病人可以活下來，哪些病人將死去 (https://reurl.cc/Ok8a8D)

QALYs (Quality-Adjusted Life Years)

是一種調整的期望壽命，用於評價和比較健康干預。 由於健康損害、傷殘和（或）出生缺陷等原因造成的慢性疾病可以通過健康調查，醫院出院紀錄等資料進行評價。在實際應用時，反映剩餘傷殘嚴重性的權重可以通過患者或職業醫師的判斷來確定。 如果健康的生活了一年則記為1; 如果死亡則記為0; 如果是傷殘則根據適當的標準記為0~1之間的數字。

ICER (Incremental Cost Effectiveness Ratio) 增加成本效益比

增加的 QALY 除以增加的成本 若成本過高，勢必會放棄此療法，放棄此為病人，避免排擠其他社福項目；若成本在可接受範圍，就會採納此新療法，此病人就可以續命

10. 假警報通常是指，當警報被觸發，但並非出自原本想偵測的原因。這並不罕見，我們甚至因為太常聽到警報聲，產生「警報疲乏」而懶得因應。若懶得確認警報起因，這樣為何要安裝警報器呢？

11. 加護病房 (ICU, Intensive Care Unit) 有高達 85% 的警報是假警報，這不但讓醫護人員疲於奔命，有時甚至因為警報疲乏而懶得因應，最後導致憾事。透過中位數的過濾，降低 60% 的假警報，既能不影響病患安危，又能避免讓醫護疲於奔命。

Before

After

12. 算數平均數 (mean) 與中位數 (median) 的應用

算數平均數 (mean)	中位數 (median)
無法消除極端值，只是讓極端值變得較溫和。	可以完全濾掉極端值。
📸 數位相片像素的亮度是以數值表示，其會與相鄰像素的數值與以平均，替換掉原本的像素數值，如此就能抹除雜訊，獲得較平滑的照片。	💵 家庭可支配所得，常會受到超富裕人士的影響，此時中位數會是比算術平均數更適當的選擇。

13. 如何挑選 honest average 《Statistics Hacks》

誠實平均數	說明	適用情況
平均數 (mean)	是所有數加起來除以個數所得出的平均值。	如果分布相當對稱且只有一個眾數，就選擇平均數。
中位數 (median)	將資料由小而大的順序排列，最中間的那個數即是中位數。	如果分布是傾斜的 (即有少數的離群值太大影響平均數)，就要選擇中位數。
眾數 (mode)	數值資料中出現次數最多的數值。	如果資料中有兩個或更多個趨勢 (trends)，就該選擇眾數，並為每個趨勢都回報一個眾數。
Example

14. 二元性 (binary) 檢測可以提供診斷用的篩選資訊，但病人經常會理解錯誤，有時甚至醫生也會。了解稱作「敏感度 (sensitivity)」和「特異性 (specificity)」的機率特徵能提供更為準確且 (有的時候) 令人安心的畫面。《HOW NOT TO BE WRONG》

二元性 (binary) 檢測

病人實際有該症狀 (A) 病人實際無該症狀 (B) 檢驗結果顯示有該症狀 true positive 真陽性 敏感度 (sensitivity) false positive 偽陽性 檢驗結果顯示無該症狀 false negative 偽陰性 true negative 真陰性 特異性 (specificity)

敏感度 (sensitivity)

若一個人真的有該疾病，檢驗結果為陽性的機率有多高 即 A 欄中，有多少比率會得到陽性的檢驗結果

特異性 (specificity)

若一個人沒有該疾病，檢驗結果為陰性的機率有多高 即 B 欄中，有多少比率會得到陰性的檢驗結果

以乳癌檢測為例，篩檢為陽性，真的是陽性的正確率只有 9.17%

假設前提 假設女性乳癌盛行率 1% 如果女性罹患乳癌，篩檢呈現陽性機率為 90% 如果女性「未」罹患乳癌，篩檢呈現陽性為 9% 將上述機率轉換為樹狀圖 真陽性機率 = 90 / (90+891) = 0.0917。 偽陽性機率 = 891 / (90+891) = 0.91。以此假陽性機率，只要你做七次乳癌檢測，就有高達 50.98% 的機率 (0.91 ^ 7) 會收到一次偽陽性通知。 現行英國政府要求年滿 50 歲的女性，每三年要做一次乳房 X 光篩檢，女性平均壽命 82 歲，英國女性一生至少會收到一次偽陰性通知。

15. 英國國家篩檢計畫 (National Screening Programme) 前負責人 Muri Gary 曾指出：「所有篩檢計畫都會造成傷害，只是有些也能帶來好處，而在帶來好處的計畫中，有些能以合理代價，帶來利大於弊的結果。」

在醫學上，偽陽性是可被接受的，盡早發現、盡早治療

16. 確定性假象 (illusion of certainty)：在醫療篩檢中，偽陽性之所以會造成問題，部分原因在於我們對醫療檢測結果的深信不疑。我們想盡辦法，急著想要得到某個確定答案，忘了應該對相關結果抱持懷疑態度。

17. 對於絕大多數健康的人來說，檢測「準確」代表這些人真的沒有病，是「真陰性」。由於未染病的人會有兩種檢測結果：真陰性與偽陽性，真陰性的比例越高，偽陽性的比例就越低，檢測就越準確。

18. 敏感性 (sensitivity) 與特異性 (specificity)

檢驗特性	說明
敏感性  (sensitivity)	高敏感性的檢驗，偽陰性率低，因此結果陰性時越能排除得病。
特異性  (specificity)	高特異性的檢驗，偽陽性率低，因此結果陽性時越能確認得病。
以流感快篩檢驗為例，其特異性可達 90-95%，因此快篩結果陽性時，幾乎能確認受到流感病毒的感染；但快篩檢驗的敏感性卻只有 50-70%，陰性結果並不能用來作為排除流感病毒感染，仍是必須依患者的臨床症狀來加以判斷。 最佳的檢驗方法當然是有病的人檢驗結果都是陽性，無病的人檢驗結果都是陰性，但實際上，大多數的檢驗方法是無法同時兼顧兩者，只能依據臨床上的需求來選擇檢驗方法。 Ref: https://epaper.ntuh.gov.tw/health/201606/health_5.html
敏感性 (sensitivity)
特異性 (specificity)

19. 【缺乏思考的計算，當心膚淺的比較】人有一種自然傾向，僅關注計算結果是否準確，而不深究這個計算是否正確與合理。隨著人口成長，許多人類活動也會跟著增長，包含看電視時間、吃橘子的人數、死亡人數等。資料間毫不相關，但它們之間存在統計相關性，因為它們都會隨著人口增加而增長。看電視不會導致我們吃橘子，吃橘子不會導致死亡。在統計學中，相關性 ≠ 因果關係。不管兩者相關性多高，在做出判斷前，都需要合理的解釋。(Ref: https://reurl.cc/4y7kYK )

準確度(accuracy)	精確度(precision)
重點在於「差距」，測量值的平均值跟實際值的差距，常用術語：誤差	重點在於「離散程度」，測量值的離散程度，常用術語：標準差、變異數

20. 提高某項檢測精確度的方式，例如武漢肺炎的檢測，第一輪用快篩，盡可能抓出潛在陽性個案；第二輪針對陽性患者做 PCR 檢測，藉此剃除偽陽性個案。

提高某項檢測精確度的方式

以武漢肺炎為例

21. 檢測有可能完全準確嗎？意即敏感性 (sensitivity) 與特異性 (specificity) 都是 100%，既能找出所有患病對象，而且完全不會找錯人。實務上，偽陽性與偽陰性呈現負相關：偽陽性越少，偽陰性就越多，反之亦然。有效的檢測會找出一個門檻值，在完全敏感性與完全特異性之間找到平衡，盡可能與兩者接近。

22. 檢測必須做敏感性與特性的的折衷原因，是因為我們常常檢測的對象並非現象本身，而是一些替代對象，稱之為替代標記 (surrogate marker)。以居家懷孕檢測為例，檢測試紙並未進入子宮尋找是否有著床的胚胎，它是檢測 HCG 是否增加，HCG 就是扮演替代標記的角色。因為若有其他標記與替代標記太過類似，就可能觸發陽性結果。

23. 居家懷孕檢測出現陽性時，因我們檢查的是替代標記的原因，常會誤判懷孕，忽略惡性腫瘤刺激 HCG 的可能性

24. 唐氏症檢查

25. 不論我們是否喜歡，都無法避免偽陽性與偽陰性。雖然靠著數學與科技，可以用像是過濾之類的工具在第一線就處理掉其中一些問題，但仍有些問題須靠我們自己解決。記住，篩檢並非最終診斷，需耐心等待第二輪更準確的追蹤檢查結果。

26. 有些檢測或許沒有更進階的檢測工具，在此種狀況下，就算只是把同樣的測試再做一次，也能顯著提升精確度。

27. 進行兩輪檢測以提升HIV 檢測精確度 (precision) 

【第一輪】Base rate

英國 HIV 盛行率 0.16% HIV 檢測特異性 (specificity) 為 99.7%

【第一輪】真陽性精確度 (precision) 計算

真陽性精確度 (precision) = 1595 / (1595 + 2995) = 0.35。

【第二輪】Base rate 更新

依據第一輪的計算，英國 HIV 盛行率 35% HIV 檢測特異性 (specificity) 為 99.7% 第一輪的陽性患者數共 1595 + 2995 = 4590 位

【第二輪】真陽性精確度 (precision) 計算

真陽性精確度 (precision) = 1602 / (1602 + 9) = 0.99。

28. 永遠不要害怕去詢問第二意見，事情清楚擺在眼前：就算是醫生這種公認的專家，總散發一種信心的假象，也不見得每次都能確實的掌握數字。

29. 當你因為單一檢測結果感到焦慮時，請先去研究那項檢測的敏感性與特異性，計算結果錯誤的可能性。去質疑那些確定性的假象，把詮釋權重新抓回自己手中。

[閱讀筆記] The Math of Life and Death - ㊀ 從指數的角度來思考：探討「指數行為」的威力與限制 (Thinking Exponentially: The Sobering Limits of Power)

 

1. 所謂「指數成長」，是指某事物會依據其當下的規模，呈現等比例成長。假設你在早晨打開一瓶牛奶 🥛，有一隻糞鏈球菌溜進瓶子裡，在牛奶裡，糞鏈球菌每小時就能分裂兩個子細胞。每經過一代，增加的細胞量與當下的細胞量成正比。指數曲線有時稱為「J 型」，這是因為其陡峭上升的走勢幾乎與字母 J 相同。

2. 指數成長只能維持一小段時間，因為成長的主體是以無法維繫的方式在消耗資源，很多時候根本可以說是病態。舉例來說，癌症的典型特徵，就正是人體細胞持續以指數成長；又如糞鏈球菌快速耗盡牛奶內的所有養分。

3. 另一種指數曲線是「自由落體滑水道」，一開始非常陡峭，如自由落體，此曲線經歷的是衰減曲線，指數衰減時，數量會依當下的規模，呈現等比例減少。

4. 本章節預計揭露指數行為與日常現象之間隱藏的連結：① 疾病如何在人群中傳播？② 迷音如何在網路上傳播？③ 胚胎如何成長如此迅速？④ 銀行帳戶中的資金為何成長如此緩慢？⑤ 我們如何感知時間、甚至感知核彈何時爆炸？

5. Benjamin Franklin 曾說：「錢能賺錢，而那筆錢賺來的錢，還能賺到更多錢。」

財富累積

如果你每年投資 100 元、年利率 1%，得花 900 多年才能變成百萬富翁。如果成長率不高、初始投資金額不大，就會讓人感覺指數成長實在緩慢。 以定期定額為例 (以月份作為複利的期次、申購手續費以1.0%計算)

債務累積

如果你欠了卡債，每個月要被扣一筆固定利息，卡債也可能出現指數型成長。這就像是房貸，若你能越早付清卡債，或是能還的頭期款越多，避免讓指數成長進入起飛期，你最後需要付的總金額就會減少。 以房貸為例，越短時間繳完，需繳納的總利息就越低

6. 如果某件事看起來好得不像真的，大概就不是真的。金字塔式騙局 (Pyramid scheme) 就是如此，是一種「無法持久永續經營」(unsustainable) 的商業銷售運作模式，在大多數國家及社會的法律及案件中被視為「非法商業行為」。

金字塔式騙局 (Pyramid scheme)

(https://reurl.cc/RboqZe)

受精卵的細胞分裂如同金字塔式騙局 (Pyramid scheme)

卵子受精後，受精卵會經過一次又一次的細胞分裂，讓發育中的胚胎細胞數迅速增加。先是一個變兩個；經過八小時，兩個變四個；再過八小時，四個變八個，再很快變成十六個，就這樣不斷快速增加，如同金字塔型騙局裡新投資人的數量。 隨著胚胎成長走到比較複雜的階段，細胞分裂速度會趨緩。現實中，新生兒的細胞數大約有兩兆個，只要不到 41 次分裂，就能達到這個數目。

7. 核反應與放射線衰退，也是一種指數成長與指數衰退

核連鎖反應 (nuclear chain reaction)

當發生一個核反應，兩個或以上的周邊核反應被觸動，從而帶動其他核反應以指數形式增長。在臨界質量的核分裂燃料發生的不受控核連鎖反應可釋放出巨大能量，也是純核分裂炸彈的威力來源。在核子反應爐中，核連鎖反應可通過插入吸收中子的控制捧人工中止。(https://reurl.cc/Krolbm)

放射性指數衰減

指數衰減就像指數成長，指的是數量會依照當下的價值而成比例減少。例如，人體排除藥物、一大杯啤酒對腦袋的影響越來越低、放射性物質釋放出的強度會隨時間而減少 (i.e 放射性衰變 / radioactive decay)。 (https://reurl.cc/yeaDvq)

放射性指數衰減應用 - 放射性定年 (radiometric dating)

依據物質現存的放射性，判斷物質已存在多久。只要測量物質現存仍帶有放射性的原子含量，再與已知衰變產品的原子含量做比較，理論上就能為所有會放出原子輻射的物質加以定年。 例如，號稱有 130 年的麥卡倫單一純麥威士忌，經檢測只是 1970 年代的調和威士忌廉價酒；檢驗年代久遠的藝術作品等。

8. Van Meegeren 是一位荷蘭畫家，被認為是20世紀最聰明的藝術偽造者之一。儘管他犯了詐欺罪，但是在第二次世界大戰結束後，范米格倫成為民族英雄。他在納粹德國佔領荷蘭期間，他曾出售過一幅偽造的維梅爾畫作給帝國元帥Hermann Wilhelm Göring (https://reurl.cc/L7x0Z9)。運用「鉛 210 放射性定年」進行檢驗，與真正有 300 年歷史的油畫畫作相比，《以馬忤斯的晚餐》找到鉛 210的比例異常地高，不可能是 17 世紀 Vermeer 的畫作，因為當時 17 世紀尚未開採出畫作顏料用的鉛。

9. 病毒式行銷 (viral marketing) 所指的現象，是透過類似自我複製的過程，用像是病毒傳播的手段達成廣告目標。只要網路上有一個人被感染，就會再傳染給其他人。只要每個新感染者再傳染只少一個人，病毒傳染就能指數成長。病毒式行銷是迷因 (meme) 的子領域，指的是某個迷因如何透過社交網路，像病毒一樣在人與人之間傳播。

(https://reurl.cc/DZMvr6)

10. 冰桶挑戰 (Ice Bucket Challenge) 就是一種病毒式行銷 (viral marketing) ，曾幫助總部位於美國華盛頓特區的 ALS 協會籌集到超過1億美元善款。ALS 協會發布聲明表示，冰桶挑戰善款資助的研究項目 Project MinE 取得重大突破：研究人員發現 ALS 與名為 NEK1 的基因有關，為治療這種罕見病提供了新的方向。(https://reurl.cc/2oADzm, https://reurl.cc/oxberV)

11. 2014 年是冰桶挑戰的高峰 (ex. 流感高峰)，2015 年所獲得的募款 < 前一年的 1%。只要在 2014 年曾接觸過此病毒的民眾，通常就已具備很強的免疫力，即使菌株稍有突變 (ex. 桶子內不是裝水，改裝其他東西)，也難有影響。此時，群眾已出現「冷漠」的抗體，所以就算新的病毒再爆發，每個新的參與者平均而言並無法再把病毒傳給至少一個人，疫情也迅速消散。

12. 荷花定律 (30 天定律)：一個荷花池，第一天開一朵，第二天開放的數量是第一天的兩倍，之後的每一天，荷花都會以前一天兩倍的數量開放。如果到第30天，荷花就開滿了整個池塘，那麼請問：在第幾天池塘中的荷花開了一半？第15天？錯！是第29天。

荷花定律試算

13. 上述荷花定律，許多人會回答 15 天，顯示人類無法以指數方式思考的弱點，這也可能是造成生態系統與人口崩潰的原因。有一種在瀕臨絕種列表上的物種，一直面臨著明確且持續的警告信號，就是人類自己。

14. 指數成長不可能永續，通常隨著人口持續增加，環境能用來維持人口成長的資源就會變得稀缺，淨增長數 (出生率減死亡率的差) 就會自然下降。地球環境只能維持一定數量的物種族群，這個上限稱為「乘載能力」。達爾文發現，當資源無缺時，物種會以指數型成長；當面臨環境限制時，物種間就會開始爭奪資源，最終進入增長停滯期，這就是所謂的 logistic growth model (羅吉斯成長模型)。

15. 在指數成長的情況裡，只要讓成長率小幅下降，就能產生巨大差異。雖然我們繼續朝向地球的乘載上限接近，但靠著人口成長趨緩，我們正自然而然地為自己爭取更多時間。但我們生而為人，還是有些出於指數行為的道理，會感覺剩下的時間不如想像的多。

16. 越熟悉日常生活的種種例行公事，就會越覺得時光飛逝；通常隨著年齡增長，這一切只會越來越熟悉，所以感到時光流逝更快。根據這項理論看來，如果想讓時間慢一點，就該讓生活充滿各種新奇體驗，別讓例行公事侵蝕我們的時間。

17. 隨著年齡成長，對於某段固定時間的感受似乎會不斷減少，顯示時間似乎適用的是「指數尺度」(exponential scale)。測量的時候，如果數量的變化範圍極為巨大，就可能不使用傳統的線性尺度 (linear scale)，而採用指數尺度。如果用指數模型來看，人生的五歲到十歲、十歲到二十歲、二十歲到四十歲、甚至是四十歲到八十歲，有可能其實會感覺一樣長（或一樣短）。這裡並不是想讓人急著去寫什麼夢想清單，但如果根據這個模型，從四十歲到八十歲雖然有四十年（也就是一般中老年的大部分人生），但過起來的感覺有可能就像從五歲到十歲生日那五年一樣倏忽即逝。

一年佔人生的比例

10 歲的小孩對於 11 歲的生日禮物所需等待的時間，得在花上這輩子 10% 的時間，這需要聖人般的耐性。

1. 對於年事已高的囚犯而言，倒也算得上一點小小的安慰，這種例行公事般的監獄生活，又或者說是對時間感知的指數加速，應該會讓他們的刑期感覺起來迅速飛逝。

[閱讀筆記] The Math of Life and Death - 引言 萬事萬物都是數學 (Introduction: Almost Everything)

 

1. 運用於生態學的重複補取法 (capture - recapture method, CRM)

運作原理

做兩次獨立抽樣，再比較之間的重疊情形來進行推估。

🐌以計算後院花圃內的蝸牛為例

重複補取法 (capture - recapture method) 常見的應用

🐟 計算湖裡面有幾條魚，讓漁業部門判斷還能發出幾張捕魚許可證 💊 計算人口中有多少毒癮患者 ☠️ 科索沃有多少人死於戰爭

2. 抽樣過程一定會有誤差，但我們可透過確保樣本為隨機，以及取得更多樣本，以減少誤差。在沒有其他方法能得出答案時，抽樣至少可以提供答案，就這點而言，抽樣優於執行分析。隨機性最令人驚奇的能力，是它可用在機率似乎無用武之地的地方，即使我們想知道的答案只有是否或真假，沒有模糊空間，擲幾次骰子似乎也能提供部分解答。《Algorithms to Live By》

3. 身為數學家，數學是一項實用工具，讓我們理解這個複雜的世界。

4. 萬事萬物都是數學

日常生活	萬事萬物都是數學
🌳如果你觀察到樹枝分支的樣貌、 ❄️ 或是觀察到雪花的多重對稱	那就是數學
🎶 如果你曾跟著音樂打拍子、 或在洗澡時讓歌聲迴盪共鳴	你正聽著數學
⚽ 如果你曾踢出香蕉球入網， 🏏 或在打板球時逮住一記曲球回擊	你就在實踐數學

5. 本書不是一本數學書，不是寫給數學家，整本書沒有任何方程式。我除了會指出生活中哪些地方會突然出現數學，還會提出一些日常生活能派上用場的簡單數學法則及工具：🚄 如何在火車上搶到最好的位置、👨‍⚕️ 或是在醫生宣布壞消息時保持冷靜。

6. 我也會提出簡單的辦法，讓人不要犯下數字錯誤，還要談談如何洞悉新聞標題的數字陷阱。此外，我們還會解析消費性遺傳產品背後的數學，以及了解有致命疾病傳播時，如何透過數學來加以遏止。

7. 數學是法律上的破洞，也是縫合破洞的針線；是拯救生命的科技，也是讓生命落入險境的誤解；是疾病爆發的起因，卻也是控制疾病的生機。無論是面對宇宙之謎、或是人類物種的奧秘，數學都是最有可能解決這些謎團的工具，數學帶領我們踏上人生無窮的道路。