[閱讀筆記] Standard Deviations: Flawed Assumptions... - 第八章 狀態火熱的雷．艾倫 (When You’re Hot, You’re Not)

 第八章 狀態火熱的雷．艾倫 (When You’re Hot, You’re Not)

小數定律／一項籃球研究／小華特．威廉姆斯／投擲馬蹄鐵／保齡球

1.  我們常根據一種重複出現的模式，然後再編造符合此種模式的理論。如果 Curry 連續多次三分球投籃得分，一定是因為他的狀況絕佳，命中率才提升；若連續多次失手，一定是他的狀況不好，命中率才下降。其實，每次投籃與之前沒有關係，只是出現巧合地連續現象。優秀的狀態無法確保連續成功，糟糕的狀態也不保證連續失敗；優秀或糟糕的狀態也許僅是運氣而已。

2. 在你指責賭場詐賭，要對賭場提出法律訴訟前，你要先區分大概是隨機發生的哪些看似不隨機的狀況（看起來隨機 ≠ 真的是隨機），以及實際上真的不是隨機發生的那些看似不隨機的狀況（看起來不隨機 ≠ 真的不隨機）。第二種結果看似不可能，但是因硬幣沒有記憶，每次機率都是 ½ 。這就是看似不隨機，但實際卻是隨機的例子。(Ref: Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds)

硬幣翻轉結果	機率
① 人頭、數字、人頭、人頭、數字	1212121212=132=.03125
② 數字、數字、數字、數字、數字	1212121212=132=.03125
③ 人頭、人頭、數字、數字、數字	1212121212=132=.03125
④ 人頭、人頭、人頭、人頭、數字	1212121212=132=.03125
組合 (combination)	排列 (permutation)
從某個母體隨機抽取時，最終會產生一個特定數目的值總共會有幾種方式。 例如，硬幣翻轉結果理論上是由 50% 人頭和 50% 數字所構成的無限大母體所抽取的樣本。	給定數目的一組元素能被安排的方法數。換句話說，它們是確切序列的數目。 例如，上表中的翻轉結果，每 32 次會發生 1 次。
如何計算翻轉五次硬幣的組合數：值的數目翻轉次數=25=32種	計算從一個母體抽出特定數目的元素，並得到某個特定抽取結果（如，三個人頭）的方法數：n!r!(n-r)! n: 抽取次數或元素的數目，例如，翻轉硬幣五次 r: 感興趣的特定抽取結果，例如三個人頭 翻轉五次拿到三個人頭的方法數為：5!3!(5-3)!=1206(2!)=12012=10，代表你有1032的時間，翻轉一個硬幣五次，會得到三個人頭

3. 硬幣出現順序的機率與結果機率 (Ref: Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds)

順序	此順序的機率	結果	結果機率
① 人頭、數字、人頭、人頭、數字	125=.03125	三個人頭	方法數=5!3!(5-3)!=1206(2!)=12012=10 結果機率=1032=.3125
② 數字、數字、數字、數字、數字		五個數字	方法數=5!5!(5-5)!=120120)=1 結果機率=132=.03125
③ 人頭、人頭、數字、數字、數字		三個數字	方法數=5!3!(5-3)!=1206(2!)=12012=10 結果機率=1032=.3125
④ 人頭、人頭、人頭、人頭、數字		四個人頭	方法數=5!4!(5-4)!=12024=5 結果機率=532=.15625

4. 判斷是否為隨機的條件 (Ref: Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds)

Criteria

知道特定組合（非排序）的機率； 要對抗心理傾向，預期偶然的結果不會產生某種可是別的模式 設下標準指出一個事件必須多不可能，我們才需要去質疑資料 一個事件必須多罕見，你才會認為他不是偶然發生嗎？科學家設下的一個標準是 5%。如果研究結論指出只有 5% 或更少的時間會出現的一個結果，它通常會被認為是顯著的 (significant)，並且大概就會是機遇之外有某些正在產生影響的證據（例如，五個數字一直出現，就是有鬼）。

5. 賭徒謬誤 (Gambler’s Fallacy)：不管是什麼遊戲，如果涉及金錢與機率，有一些基本的博弈原則可以幫助快樂的統計學家保持愉快。賭博的世界瀰漫著神秘、迷信和數學的混論，對這些機率遊戲多認識一點，能幫你度過難關。

賭徒謬誤 (Gambler’s Fallacy)

是一個直覺但是錯誤的信仰體系，使許多原本消息靈通的玩家付出代價。 當你在玩 21 點 (blackjack) 時，是否曾經連續拿了很多手壞牌，使得你增加賭注，認為情勢隨時可能改變，你就陷入賭徒謬誤 (Gambler’s Fallacy)，以為連續拿了好幾次壞牌，拿到好牌的機率會增加。 套用到純粹機率的遊戲上時，會是一連串「獨立事件」，事件間彼此毫無關係，每個個別的結果都與它之前的結果無關，這個事實經常被總結為「骰子沒有記憶」。 與賭徒謬誤相仿的信念範例包含 一段時間未開出的吃角子老虎機就快吐錢了。 一整晚都拿到爛牌的玩家很快就會拿到一手超級好牌扳平。 過去三場比賽都輸球的球隊，更有可能在第四場贏球。 輪盤上已經連續八次落在紅色數字上的球，接下來幾乎可確定會落在黑色數字上。 請不惜一切代價避免上述謬誤，這樣你賭輸的錢應該會少一些。

賭場和金錢

在機率遊戲中，公平的回饋 (fair payout) 是長期來說，會使兩邊的參與者 (即賭場及賭客)，達到收支平衡的支付金。 賭場能賺錢的第一個原因是，莊家優勢。以美式輪盤遊戲 (roulette) 來說，共有38個號碼，18 個紅色、18 個黑色與 2 個綠色，這讓莊家有高於公平回饋 2/38 (5.26%) 的莊家優勢。一般來說，賭場用此方式盈利並不公平，但這也是賭徒與賭場的社會契約的一部分。 賭場能賺錢的第二個原因，是因為賭徒口袋並非無限深，也沒有無限長的時間可賭博。賭場的優勢 (ex. 輪盤上的 5.26%)，是指如果一個玩家下注無限次，賭場能拿走的金額。這個無限玩家會贏一陣子，輸一陣子，然後在任何時間點，平均來說，會輸掉其起始資金的 5.26%。不過實際狀況時，大多數玩家不繼續玩的原因，通常時沒錢的時候。大多數玩家都是在有錢的時候持續下注，然後沒錢的時候停止下注。 以上兩個原因，讓賭博遊戲對賭場而言是有利可圖的，不是與特定遊戲關聯的機率，而是人類的行為：玩家持續玩的傾向。 這個 hack 給賭徒的一般建議是，過了特定一段時間後就走人，不管你是贏錢或輸錢。如果你夠幸運，在你時間用盡之前，就贏了很多錢，請考慮離開賭場。

投注系統 (betting systems)

典型的投注系統會建議你在一次損失後增加你的賭注，不過也有系統則建議你在贏一次後增加你的賭注。這些系統都假設連勝或連被總是比較可能結束而非繼續，這都犯了賭徒謬誤。若是下注金額必須增加，直到玩家贏了為止，長期來說，口袋大小有限定律 (law of finite pocket size) 會破壞系統，因為持續加倍賭注會很快吃光你的初始資金。 輸了就加倍系統 輸的次數 押注大小 總支出 1 $5 $5 2 $10 $15 3 $20 $35 4 $40 $75 5 $60 $135 6 $120 $315

6. 我們老是低估巧合在生活中有多普遍，沒意識到隨機性會產生看似有意義、實則毫無意義的模式。對無法解釋的事情做出解釋，這種說法常誘使我們相信。

7. 不要以為電腦很聰明，其實它很笨。電腦只會按照你要求工作；如果你要它們做錯誤的事情，它們就會照做並給你錯誤的結果。

8. 我們喜好在資料中尋找模式，並為其編造理由，這是無法避免的事情。因此，我們很容易相信好手感與差手感的說法，進行相信手感會影響成功機率。記住，即使在隨機的拋硬幣實驗中，也會出現僅僅來自巧合的、引人注目的連續成功和連續失敗現象。好手感與差手感很可能確實存在，但它的差異比我們想像要小的許多。

[閱讀筆記] Standard Deviations: Flawed Assumptions... - 第七章 辛普森悖論 (Cofound it!)

 第七章 辛普森悖論 (Cofound it!)

某人的悖論／我要再來一杯咖啡

1.  辛普森悖論 (Simpson’s paradox)

辛普森悖論說明

班傑明·狄斯累利(Benjamin Disraeli)是十九世紀的英國文學家、政治家，曾經兩次擔任英國首相，他認為：「世上有三種謊言，就是：謊言，天大的謊言，與統計數字。」Simpson's paradox (辛普森詭論)提出一個論點，「即使分組比較都佔優勢的一方，也會在總評中是居於劣勢的一方。」 發現干擾因素不是件容易的事情，我們應當留意是否存在可能改變結論的干擾因素。

以加州大學柏克萊分校研究院遭指控錄取有性別歧視為例

以整體來看，男性錄取人數遠高於女性 將資料拆解，將前六大科系所錄取性別拆開比較，群體數據中的模式遭到逆轉，這裡的干擾因素是，某些系所的錄取率遠高於其他系所。第一個系所擁有 64% 總錄取率，第六個系所擁有 6% 錄取率；男生喜歡申請錄取率較高的系所 (ex. 1, 2)，女生則恰恰相反。這樣的申請傾向，就會導致男性錄取人數較多；女性的總體錄取率之所以偏低，是因為她們喜歡申請錄取率較低的系所。

🏥 以醫院選擇為例

以整體死亡率來看，A 醫院優於 B 醫院 若將患者分成重症與輕症，B 醫院在重症與輕症的存活率都優於 A 醫院

2. 更多辛普森悖論的例子

Examples	說明
✈️ 阿拉斯加航空公司擁有優於另一家航空公司準點飛行紀錄，整體卻不如競爭對手	阿拉斯加航空公司擁有許多飛往 Seattle 的航班，常因當地天氣問題導致班機延誤。
👵 瑞典女性死亡率低於哥斯大黎加，但瑞典擁有較高的女性整體死亡率	因瑞典擁有更多的老年女性，老年人擁有較高的死亡率。
🏥 一項醫療手術對小型與大型腎結石的治療成功率，皆高於另一種術式，但整體成功率卻低於另一種術式	因為此一醫療手術常被用於治療大型腎結石，大型腎結石的成功率本來就較低。

3. 生日悖論：一群人中，至少有兩個人生日相同機率有多高？雖然還要視人數多少而定，但這機率卻出乎意料地高。只要人數在 23 人以上，就有高於 50% 的機率。(Ref: Statistics Hacks: Tips & Tools for Measuring the World and Beating the Odds)

假設

假設生日在人口中是均勻分布相同的 (uniformly distributed)，表示一年中每一天出生的人數大致相同。 雖然有四年一次的閏年發生，但是 2/29 出生的人很少，可忽略。

全機率法則 (Law of Total Probability)

此問題有兩個互斥 (mutually exclusive) 的可能結果： ① 至少有兩個人的生日相同 ② 沒有人的生日相同 有時候，判斷一件事情不發生的機率，會比較容易。 你可以發現，當群組大小增加越多，相同生日的機率快速上升： 假設只有兩個人，兩位生日都不相同的機率是：364365=0.997，相同機率 = 1-0.997=0.003 人數增加到三人，不相同機率：364365363365=0.992，相同機率=1-0.992=0.008 (機率增加 2.7 倍) 人數增加到 10 人，不相同機率=364365363365362365361365360365359365358365357365356365355365=0.883，相同機率 = 1-0.883=0.117 (機率增加 39 倍) 人數增加到 23 個人，不相同機率是 0.462，相同機率高達 0.538 (你的勝率大概一半) 人數增加到 30 個人，不相同機率是 0.3，相同機率高達 0.7 (你的勝率高達七成！) 人數增加到 50 個人，不相同機率是 0.03，相同機率高達 0.97 (你的勝率高達 97%！)

4. 研究人員為什麼改變想法？巧克力、葡萄酒、咖啡、陽光等，都是曾經是有害的，現在卻變成有益的。壞的變好的，好的變壞的，這是因為最初的研究存在缺陷，這通常是當初研究忽略重要的干擾因素，或者為了尋找值得發表的結論，進而探究資料。

5. 由於潛在的自我選擇偏誤和干擾因素，觀測性研究有它的挑戰性。對於利用資料發現理論的研究，應時時警惕，並用新資料加以檢驗理論。